Magnetismo
Magnetostática
Campo magnético creado por una carga en movimiento B = [mo / 4p]  [ q v x r ] / r3
Ley de Biot y Savart d B = [mo / 4p]  [ I d l x r ] / r3
donde mo = 4 p10-7(mo: permeabilidad magnética),
r es el vector que va del elemento d l al punto en el que queremos calcular el campo magnético
   
- Campo magnético creado por una corriente rectilínea infinita de intensidad I en un punto situado a una distancia r B = mo I / [ 2 p r]
- Campo magnético creado por una espira circular de radio R por la que circula una intensidad I en el centro de la misma B = mo I / [ 2 R]
- Una bobina plana circular que comprende N espiras paralelas muy próximas, de radio medio R en el centro
 B = mo N I / [ 2 R]
- Campo magnético en el eje de una espira de radio r a una distancia x B = mo R2 I / [ 2 (x2 + r2)3/2 ]
- Campo magnético creado por una espira cuadrada de lado L por la que circula una intensidad I en el centro de la misma B = 2 mo I Ö2 / [ p L]
- Campo magnético creado por un conductor rectilíneo finito a una distancia y (ángulos medidos desde el punto a los extremos del conductor) B = mo I (sen q1 + sen q2) /  [4 p y]
- Campo magnético creado por un solenoide indefinido en su interior B = mo N I / L
N: número de espiras
L: longitud del solenoide
- Campo magnético creado por un solenoide en su interior B = mo N I (cos q1 + cos q2) / (2  L)
donde los ángulos son los que forma desde el punto, el eje del solenoide con los extremos del mismo
- Campo magnético de un toroide formado por N espiras cada una transportando una corriente I, siendo a y b los radios interior y exterior del toroide B = mo N I / [ 2 p r]  si a < r < b
B = 0  si r > b  ó  r < a
Fuerza
Fuerza sobre un elemento de corriente d F = I d L x B
Fuerza sobre un conductor rectilíneo 
 F = I L x B
Fuerza de Lorentz F = q (E + v x B)
Fuerza por unidad de longitud entre corrientes paralelas F / L = mo I2 I2 / 2 p d
mismo sentido 
   se atraen
sentidos opuestos 
   se repelen
Definición de amperio Si por dos conductores paralelos muy largos situados a una distancia de 1 m entre sí circulan corrientes iguales, se define la corriente en cada uno de ellos como igual a un amperio si la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor es 2 10-7 N / m
Campo magnético creado por un conductor de radio a que transporta una corriente uniformemente distribuida en su área transversal mo I / [ 2 p r]  si r > a
mo I / [ 2 p a]  si r = a
mo I r / [ 2 p a2]  si r < a
   
Una partícula eléctrica que penetra perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme toma un movimiento circular uniforme de radio R R = m v / (q B)
T = 2 p m / (q B)
w = q B / m
Ley de Ampére ò B dl = mo I en
Densidad de corriente J I = ò J d s
Momento magnético
- Momento magnético de un cuadro rectangular N S I
donde N es el número de espiras, S la superficie de las mismas e I la intensidad
- Momento del par que produce la rotación de un cuadro rectangular o una espira circular  recorrido por una corriente I y puesto en un campo magnético M = B S I sen j
Momento dipolar magnético m = m = N I S (es perpendicular al plano de la bobina)
Par en una bobina de corriente 
(momento de torsión sobre una espira) 
 M = N I S B sen j
M = N I S x B = m x B
Energía potencial asociada al momento de la fuerza 
 U = - m B
Inducción electromagnética
Flujo del campo magnético fB = ò B ds
Ley de Faraday - Lenz (fuerza electromotriz inducida) e = - d fB / d t
para N espiras: 
 e = - N [d fB / d t]
Ley de Lenz 
 El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor
Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento e = - B L v
Generación de corriente alterna fB = B S cos q = B S cos (w t)
e = B S w sen (w t) = eo sen (w t)
Autoinducción (L, no confundirla con la L de longitud empleada anteriormente)
Coeficiente de autoinducción L ii = f ii / I i
Autoinducción de una bobina L = mo N2 S / l
Energía almacenada en una autoinducción E = L I2 / 2
Inducción mutua
Coeficiente de inducción mutua M ji = f ji / I i = M ij = f ij / I j
Medios magnéticos
H: intensidad magnética / excitación magnética B = m H
M: imantación M = c H
  c: susceptibilidad magnética
  M = B / mo - H
  B = mo H + moM = mo (H + M)
Ley de Ampére para medio magnéticos ò H dl = I en
Ecuación constitutiva m = mo (1 + km)
Vector densidad de corriente superficial de imantación Js = M x n
Vector densidad de corriente volúmica de imantación Jv = rot M
  D = e E
  J = s E
Ecuación de continuidad ò J ds = - d q(t) / dt
Teorema de Gauss ò D ds = Q (t)
Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos
Diamagnéticos cm < 0
Los valores absolutos de cm son pequeños.
Paramagnéticos cm > 0
En muchos casos la susceptibilidad paramagnética depende fuertemente de la temperatura:
Ley de P. Curie (1859 - 1906)
 cm = m -1 = constante / T
Ferromagneticos Posee una temperatura característica denominada temperatura de Curie.
Energía magnética
densidad de energía magnética: u = B2 / (2 mo) U = (1 / 2 mo) ò¥B2 dV = L I2 / 2
donde el ¥ significa que la integral se extiende a todo el espacio (donde exista campo magnético)
densidad de energía magnética: u = B H / 2 U = (1 / 2) ò¥ B H dV
Ecuaciones de Maxwell
Ñ x H = Jc + D / t Ñ D = r
Ñ x E = -  B / t Ñ B = 0
   
Ley de Gauss para el campo magnético ò B ds = 0, pues hasta el momento no se han encontrado monopolos magnéticos, "el equivalente magnético de simples cargas eléctricas"
Forma general de la ley de Faraday Un campo magnético variable produce un campo eléctrico:
ò E d l = - d fB / d t
donde fB = ò B ds
  forma integral forma diferencial
1ª: ley de Gauss de la electricidad ò E d s = qn /eo div E = Ñ E = r / eo
2ª: ley de Gauss del magnetismo ò B ds = 0 div B = Ñ B = 0
3ª: ley de la inducción de Faraday-Henry ò E d l = - d fB / d t
donde fB = ò B ds		 rot E = Ñ x E = -  B / t
4ª: ley de Ampere ò B dl = mo I + mo eo d fE / d t
donde eo d fE / d t = id (corriente de desplazamiento)		 rot B = Ñ x B = mo J + moeoE / t
Ondas electromagnéticas
2 E (x, t) / x2 = mo eo2 E (x, t) / t2 E (x, t) = Eo sen (k x - w t)
2 B (x, t) / x2 = mo eo2 B (x, t) / t2 B (x, t) = Bo sen (k x - w t)
donde 
 Eo = c Bo
k c = w
1 / c2 = mo eo
Campo magnético a partir del campo eléctrico B = (uk x E) / c
Campo eléctrico a partir del campo magnético E = c B x uk
Vector de Poynting S = E x H = (E x B) / mo
lleva la dirección de propagación de la onda
Intensidad de una onda electromagnética I = eo c Eo2 / 2
Densidad de energía rE (E) = eo E2 / 2
rE (B) = B2 / (2 mo)
rE (E y B) = eo E2 / 2 + B2 / (2 mo) = eo E2
Momento lineal y presión Las ondas electromagnéticas transportan un momento lineal por lo que pueden ejercer presión sobre las superficies. La presión de radiación de una onda electromagnética que incide perpendicularmente sobre una superficie que la absorbe totalmente es: p = S / c
Transformadores
Vs / Vp = Ns / Np
Is / Ip = Np / Ns
Vs / Vp = Ip / Is		 Vs : Tensión en bornes del secundario; Ns : número de espiras en el secundario
Vp : Tensión en bornes del primario; Np : número de espiras en el primario
Si Ns > Np Transformador elevador
Si Ns < Np Transformador reductor
Efecto Hall
Cuando un conductor que transporta corriente se mantiene firmemente en un campo magnético, el campo ejerce una fuerza lateral en las cargas que se mueven en el conductor.
e EH = e vd B  ==> EH = vd B  donde EH es el campo Hall, vd la velocidad de deriva de los electrones.
fem del efecto Hall eH = EH L = vd B L
donde L es el ancho del conductor
Unidades
I: Intensidad A = amperios
J: Densidad de corriente A / m2
B: Campo magnético  tesla
1 Tesla = 104 gauss = miriagauss
f: Flujo del campo magnético weber = tesla . m2
1 maxwell = 1 gauss . cm2
1 weber = 108 maxwell
L H = henrio, en honor a Joseph Henry (1797 - 1878)
mo: permeabilidad magnética wb / (A m)
 
Relatividad especial
Postulados de Einstein de la relatividad 1. Las leyes de la física son iguales para todos los observadores que se encuentran en sistemas de referencia inerciales.
2. La medida de la velocidad de la luz en el vacío para cualquier observador inercial es independiente del movimiento de la fuente. c = 1 / [ mo eo]1/2
Principio de correspondencia A velocidades mucho menores que la velocidad de la luz las fórmulas relativistas se reducen a las fórmulas clásicas.
b = v / c g = [1 - b2]-1/2 > 1
Contracción de la longitud L = Lo [1 - b2]1/2
La longitud de un objeto es más corta cuando se mueve respecto al observador que cuando está en reposo.
Dilatación del tiempo D t' = g Dt
Posición
x = g (x' + v t') x' = g (x - v t)
y = y' y' = y
z = z' z' = z
t = g (t' + v x' / c2) t' = g (t - v x / c2)
Velocidad
vx = (vx' + v) / (1 + v vx' / c2) vx' = (vx - v) / (1 - v vx / c2)
vy = vy' / [g (1 + v vx' / c2)] vy' = vy / [g (1 - v vx / c2)]
vz = vz' / [g (1 + v vx' / c2)] vz' = vz / [g (1 - v vx / c2)]
Masa, energía
Masa m = g mo donde mo es la masa en reposo
Energía E = m c2
E = mo c2 + mo v2 / 2
donde Eo = mo c2 es la energía en reposo
Energía cinética Ec = m c2 -  mo c2
A velocidades bajas v << c
 Ec = mo v2 / 2
px = g (px' + v E' / c2) px' = g (px - v E / c2)
py = py' py' = py
pz = pz' pz' = pz
E = g (E' + v px') E' = g (E - v px)
p2 - E2 / c2 = p' 2 - E' 2 / c2
Efecto Doppler relativista
Consideremos una fuente que emite una radiación electromagnética de frecuencia no medida por un observador en reposo respecto a la fuente. Si la fuente está en movimiento respecto a un observador la frecuencia percibida es n
Si la fuente y el observador se mueven el uno hacia el otro n = no [ (c + v) / (c - v)]1/2
Si la fuente y el observador se alejan el uno del otro n = no [ (c - v) / (c + v)]1/2
Si la radiación es perpendicular a la dirección del movimiento n = no [ 1 - v2 / c2]1/2
Física Cuántica
Radiación térmica
Radiancia espectral: RT (n) RT (n) dn representa la energía emitida en forma de radiación con frecuencia comprendidas entre n y n + d n, a la temperatura R por unidad de área y de tiempo
  RT = 0ò¥ RT (n) d n, representa la potencia total emitida a la temperatura T por unidad de área.
Ley de Stefan - Boltzman RT = s T4 donde s = 5.6703 10-8 w / (m2 K2) es la constante de Boltzmann
Potencia radiante Pr = e s A T4
donde s = 5.6703 10-8 w / (m2 K2) es la constante de Boltzmann
e: emisividad (entre 0 y 1) que depende del estado de la superficie del cuerpo
Cuerpo negro e = 1. Es un radiador perfecto y absorbe toda la radiación que incide sobre él
Potencia radiante neta de un cuerpo a la temperatura T con sus alrededores a la temperatura To Pneta = e s A (T4 - To4)
Ley de desplazamiento de Wien El espectro de potencia de energía electromagnética irradiada por un cuerpo negro tiene un máximo a una longitud de onda lmax que varía inversamente con la temperatura absoluta del gas:
lmax = 2.898 / T (en mm K)
Naturaleza de la luz
Energía de un cuanto E = h n = h c / l
h = 6.63 10-34 J s
Efecto fotoeléctrico h n = h no  + Ec (max)
no es la frecuencia umbral;
Wo = h no es el trabajo de extracción del metal
Efecto Compton Dl = lc (1 - cos q)
lc = h / (me c) = longitud de onda Compton (para el electrón es: 2,42 10-12 m)
q : ángulo en el que sale dispersado el fotón
Corrimiento de Compton: 
 h / (me c) = 2.43 10-12 m = 0.0243 A
Dualidad onda - partícula. Hipótesis de De Broglie Toda partícula posee una onda asociada cuya longitud de onda (longitud de onda de De Broglie) es l = h / p = h / (m v) 
Principio de incertidumbre de Heisenberg D x D p ³ h / 4p
D x: incertidumbre en la medida de la posición de la partícula;
D p: incertidumbre en la medida del momento
D E D t ³ h / 4p: No es posible determinar simultáneamente y sin errores el valor exacto de la energía de un proceso y el momento en que dicho proceso se producirá.
Física Cuántica
Densidad de probabilidad p (x) = y2 (x)
Probabilidad de encontrar una partícula en una región dx en la posición x y2 (x) dx 
  -¥ò¥y2 (x) dx = 1
Partícula en una caja (de 0 a L) Energías permitidas: En = h2 n2 / (8 m L2)
n = 1, 2, 3... 
 Funciones de onda: yn (x) = (2/L)1/2 sen (n p x/L)
Principio de correspondencia de Bohr En el límite de los números cuánticos muy grandes, los cálculos clásicos y cuánticos conducen a los mismos resultados.
Valores esperados < f (x) > = ò f (x) y2 (x) dx
Oscilador armónico En = (n + 1/2) h n
Átomo de hidrógeno En = - 13.6 / n2 eV 
n = 1, 2, 3...
Cuantización del momento angular L = [ l (l +1) ]1/2
donde l = 0, 1, 2 ... y  = (h / 2 p)
Unidades
Electron-voltio 1 eV = 1.6 10-19 J
Unidad de masa atómica 1 uma = 1,66 10-27 kg = 931 MeV
Algunas masas 
 protón: 1,007593 uma
neutrón: 1,008982
electróm: 5,5 10-4 uma

 

Termodinámica
Escalas de temperaturas
C (Celsius o centígrada), F (Fahrenheit), R (Reamur), K (Kelvin, absoluta) C / 5 = (F - 32) / 9 = R / 4
K = C + 273.15 (usualmente tomamos 273)
  0° C = 0° R = 32 °F
100° C = 80° R = 212 °F
Coeficientes
Coeficiente de dilatación 
 a = [ (V / T)P  ] / V
para un gas ideal: a = 1 / T
Coeficiente de compresibilidad isotermo 
 k = - [ (V / P)T  ] / V
para un gas ideal: k = 1 / P
Coeficiente piezométrico 
 b = [ (P / T)V  ] / P
para un gas ideal: b = 1 / T
Coeficiente de dilatación lineal 
 a = [ (L / T)t  ] / L
Módulo de Young 
 Y = [ (¶t / L)T  ] / S
Ecuación de estado
Relación entre P, T y V P = P (V, T)
T = T (P, V)
V = V (P, T)
Gas ideal Una gas es perfecto cuando obedece la ley de los gases perfectos.
A presiones moderadas y a temperaturas no demasiado bajas, todos los gases químicamente estables se comportan como gases perfectos.
P V = n R T = (m / M) R T = N k T
donde m es la masa y M el peso molecular, k es la constante de Boltzman y N el número de moléculas
R = NA k
NA es el número de Avogadro
Ecuación de Van der Waals 
(para n moles)		 ( P + a n2 / V2 ) (V - b n) = n R T
donde b es el volumen de un mol de moléculas de gas
a n2 / V2 se debe a la atracción que las moléculas del gas ejercen entre sí
Ecuación de Berthelot [ P + a / (T v2 ) ] (V - b) = R T
Ecuación de Dieterici p ( v - b) = R T exp [- a / (R T v) ]
Punto crítico
Temperatura crítica La temperatura Tc para la cual y por encima de la cual es imposible la condensación de un gas por compresión. 
La isoterma T = Tc presenta un punto de inflexión, denominado punto crítico.
Punto crítico d2P / dV2 = dP / dV = 0 (en T = Tc)
Volumen crítico 
 Vc = 3 b n
Pc Vc = (3/8) n R Tc
Presión crítica 
 Pc = a / (27 b2)
Temperatura crítica 
 Tc = 8 a / (27 b R)
Principio de calorimetría
Principio de calorimetría Q cedido (por el cuerpo de mayor temperatura) = Q absorbido (por el de menor temperatura)
ambos calor expresados en valor absoluto
Calor específico Cantidad de calor que hay que suministrar a un gramo de masa de esa sustancia para elevar 1° C su temperatura
Ce = DQ / [m DT]
Para el agua vale: Ce = 1 cal / (g °C) = 4,184 J / (kg K)
Para el hielo vale: Ce = 0,5 cal / (g °C) = 2,092 J / (kg K)
Capacidad calorífica Cantidad de calor que hay que suministrar al cuerpo para elevar 1 °C su temperatura.
C = m Ce (donde m es la masa del cuerpo)
Calor latente de fusión de un sólido Cantidad de calor necesaria para fundir un gramo de sólido a temperatura constante. Q = m lf
Coindice con el calor desprendido al solidificarse.
Para el hielo a 0 °C vale 80 cal / g
Calor latente de vaporización de un líquido Cantidad de calor necesaria para vaporizar un gramo de líquido a temperatura constante. Q = m lv
Para el agua a 100 °C vale 539 cal / g
Primer Principio de la Termodinámica
d U = dQ + dW U: energía interna; Q: calor; W: trabajo
dW = - P dV - : lo que sale del sistema
+ : lo que entra al sistema
También podemos considerar, con el criterio de signos adecuado, d U = dQ - dW. En este caso, dW = P dV
d U = dQ - P dV
Adoptando este último criterio tendremos:
  • Criterio de signos para el calor: 
    • El calor es positivo si el sistema lo recibe del ambiente (el sistema gana calor)
    • El calor es negativo si el sistema lo cede al ambiente (pierde calor)
  • Criterio de signos para el trabajo:
    • El trabajo es positivo si lo realiza el sistema contra el ambiente (el sistema se expansiona)
    • El trabajo es negativo si el ambiente realiza el trabajo sobre el sistema (el sistema se contrae)
Expansión isoterma (T = cte) 
 W = n R T ln (V2 / V1)
DU = 0 (para un gas ideal)
DH = 0
Proceso isócoro (V = cte)
 W = 0
Q = D U = n Cv DT
D H = n Cp DT
Proceso isóbaro (P = cte) 
 W = P (V2 - V1)
Q = D H = ò Cp dT = Cp DT (si Cp es cte); para n moles: Q = n Cp DT
D U = n Cv DT
Calor específico a volumen constante Cv = (dQ / dT)V = (U / T)V
Calor específico a presión constante CP = (dQ / dT)P
(Gas ideal)
 W DU Q DH DS
Isóbaro P (V2 - V1) n Cv DT n Cp DT n Cp DT n Cp ln T2 / T1
Isócoro 0 n Cv DT n Cv DT n Cp DT n Cv ln T2 / T1
Isotermo n R T ln (V2 / V1) 0 n R T ln (V2 / V1) 0 n R ln V2 / V1
Adiabático P V g = cte [P1 V1 - P2V2] / [g - 1] - [P1 V1 - P2V2] / [g - 1] 0 n Cp DT 0
Politrópico P Vk = cte [P1 V1 - P2V2] / [k - 1] n Cv DT DU + W n Cp DT  
Gas perfecto
Ecuación de estado P V = n R T
Energía interna U = U (T)
H = H (T)
Ecuación de Mayer Cp = Cv + R
gas monoatómico 
 Cv = 3 R / 2;  Cp = 5 R / 2;  g = 5/3 = 1.67
gas diatómico 
 Cv = 5 R / 2;  Cp = 7 R / 2;  g = 7/5 = 1.40
Proceso adiabático dQ = 0 P V g = cte;  T V g-1 = cte;  T P (1-g)/g = cte
donde g = Cp / Cv  > 1 es el coeficiente adiabático
Cp = g R / (g - 1)
Cv = R / (g - 1)
W = [P1 V1 - P2V2] / [g - 1]
La pendiente de una adiabática (P V g = cte) es mayor que la de la isoterma (P V = cte)
Proceso politrópico P Vk = cte
donde k es el índice de politropía
F = U - T S G = H - T S
Energía cinética media de las moléculas de un gas E = 3 k T / 2
donde k es la constante de Boltzmann
Temperatura absoluta de un gas Es la energía media por molécula
Segundo Principio de la Termodinámica
  DS = 1ò2 dQ / T (reversible)
Gas ideal (suponiendo Cv y Cp constantes) DS = n [Cv ln T2 / T1 + R ln V2 / V1]
  DS = n [Cp ln T2 / T1 - N R ln P2 / P1]
  DS = n [Cp ln V2 / V1 + Cv ln P2 / P1]
Proceso isóbaro (P = cte) DS = 1ò2 Cp dT / T
Proceso isotermo (T = cte) DS = Q / T 
Proceso isócoro (V = cte) DS = 1ò2 Cv dT / T 
Proceso adiabático o isoentrópico DS = 0
La entropía está relacionada con la probabilidad  
Entropía de un gas ideal S (T, V) = n Cv ln T + n R ln V + So
Potencial
 Variables independientes Diferencial
energía interna U S, V d U £ T dS - p dV
energía libre de Helmholtz F = U - T S T, V d F £ -S dT - p dV
entalpía H = U + p V S, p d H £ T dS + V dp
potencial o entalpía libre de Gibbs G = U - T S + p V T, p d G £ -S dT + V dp
 
Relación entre la energía interna y la ecuación de estado (U / V)T = T (P / T)V  - P
  Cp = Cv + T (P / T)V (V / T)P
  Cp = Cv + a2 T V / k
 
Capacidades caloríficas de los sólidos. Ley de Dulong y Petit La mayoría de los sólidos tienen capacidades térmicas molares aproximadamente iguales a 3 R.
Condiciones de validez del principio de equipartición Si el espaciado de los niveles de energía es grande comparado con KT, la energía no puede transferirse por choques y el teorema de equipartición clásico no es válido.
Máquinas térmicas
Trabajo neto durante un ciclo  W = W1 - W2 = Q1 - Q2
donde W es el trabajo realizado, Q1 el calor absorbido y Q2 el calor cedido
Rendimiento de una máquina térmica h = W / Q1 = (Q1 - |Q2|) / Q1 < 1 
Ciclo de Carnot Comprende cuatro procesos reversibles:
1. expansión isotérmica y reversible del gas
2. expansión adiabática y reversible del gas
3. compresión isoterma reversible del gas
4. compresión adiabática reversible del gas.
Rendimiento de una máquina de Carnot: h = (T1 - T2) / T1
donde T2 es la temperatura del foco frío
1 atm l = 101,3 J (100 J aprox.)  
1 cal = 4,1845 J 1 J = 0,2389 cal
k = R / NA
R = 0,082 atm l / (mol K) = 8,3144 J / (mol K) = 1,986 cal / (mol K)
k (constante de Boltzman) = 1,3806 10-23 J / K
NA (número de Avogadro) = 6.0221 1023
Condiciones normales de un gas P = 1 atm = 1,013 105 Pa = 760 mm Hg
T = 0 °C = 273,15 K
[F] = [G] = [H] = J [S] = cal / K ó J / K
Calor específico J / (kg K)

                                                © 1989 Javier de Lucas