BELLAS FORMULAS

Magnetismo

Magnetostática
Campo magnético creado por una carga en movimiento	B = [mo / 4p] [ q v x r ] / r^3
Ley de Biot y Savart	d B = [mo / 4p] [ I d l x r ] / r^3 donde mo = 4 p10^-7(mo: permeabilidad magnética), r es el vector que va del elemento d l al punto en el que queremos calcular el campo magnético
- Campo magnético creado por una corriente rectilínea infinita de intensidad I en un punto situado a una distancia r	B = mo I / [ 2 p r]
- Campo magnético creado por una espira circular de radio R por la que circula una intensidad I en el centro de la misma	B = mo I / [ 2 R]
- Una bobina plana circular que comprende N espiras paralelas muy próximas, de radio medio R en el centro	B = mo N I / [ 2 R]
- Campo magnético en el eje de una espira de radio r a una distancia x	B = mo R^2 I / [ 2 (x^2 + r^2)^3/2]
- Campo magnético creado por una espira cuadrada de lado L por la que circula una intensidad I en el centro de la misma	B = 2 mo I Ö2 / [ p L]
- Campo magnético creado por un conductor rectilíneo finito a una distancia y (ángulos medidos desde el punto a los extremos del conductor)	B = mo I (sen q1 + sen q2) /  [4 p y]
- Campo magnético creado por un solenoide indefinido en su interior	B = mo N I / L N: número de espiras L: longitud del solenoide
- Campo magnético creado por un solenoide en su interior	B = mo N I (cos q1 + cos q2) / (2  L) donde los ángulos son los que forma desde el punto, el eje del solenoide con los extremos del mismo
- Campo magnético de un toroide formado por N espiras cada una transportando una corriente I, siendo a y b los radios interior y exterior del toroide	B = mo N I / [ 2 p r]  si a < r < b B = 0  si r > b  ó  r < a
Fuerza
Fuerza sobre un elemento de corriente	d F = I d L x B
Fuerza sobre un conductor rectilíneo	F = I L x B
Fuerza de Lorentz	F = q (E + v x B)
Fuerza por unidad de longitud entre corrientes paralelas	F / L = mo I2 I2 / 2 p d
mismo sentido	se atraen
sentidos opuestos	se repelen
Definición de amperio	Si por dos conductores paralelos muy largos situados a una distancia de 1 m entre sí circulan corrientes iguales, se define la corriente en cada uno de ellos como igual a un amperio si la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor es 2 10^-7 N / m
Campo magnético creado por un conductor de radio a que transporta una corriente uniformemente distribuida en su área transversal	mo I / [ 2 p r]  si r > a
	mo I / [ 2 p a]  si r = a
	mo I r / [ 2 p a^2]  si r < a
Una partícula eléctrica que penetra perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme toma un movimiento circular uniforme de radio R	R = m v / (q B)
	T = 2 p m / (q B)
	w = q B / m
Ley de Ampére	ò B dl = mo I en
Densidad de corriente J	I = ò J d s

Momento magnético
- Momento magnético de un cuadro rectangular	N S I donde N es el número de espiras, S la superficie de las mismas e I la intensidad
- Momento del par que produce la rotación de un cuadro rectangular o una espira circular  recorrido por una corriente I y puesto en un campo magnético	M = B S I sen j
Momento dipolar magnético	m = m = N I S (es perpendicular al plano de la bobina)
Par en una bobina de corriente  (momento de torsión sobre una espira)	M = N I S B sen j M = N I S x B = m x B
Energía potencial asociada al momento de la fuerza	U = - m B

Inducción electromagnética
Flujo del campo magnético	fB = ò B ds
Ley de Faraday - Lenz (fuerza electromotriz inducida)	e = - d fB / d t
para N espiras:	e = - N [d fB / d t]
Ley de Lenz	El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor
Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento	e = - B L v
Generación de corriente alterna	fB = B S cos q = B S cos (w t) e = B S w sen (w t) = eo sen (w t)
Autoinducción (L, no confundirla con la L de longitud empleada anteriormente)
Coeficiente de autoinducción	L ii = f ii / I i
Autoinducción de una bobina	L = mo N^2 S / l
Energía almacenada en una autoinducción	E = L I^2 / 2
Inducción mutua
Coeficiente de inducción mutua	M ji = f ji / I i = M ij = f ij / I j

Medios magnéticos
H: intensidad magnética / excitación magnética	B = m H
M: imantación	M = c H
	c: susceptibilidad magnética
	M = B / mo - H
	B = mo H + moM = mo (H + M)
Ley de Ampére para medio magnéticos	ò H dl = I en
Ecuación constitutiva	m = mo (1 + km)
Vector densidad de corriente superficial de imantación	Js = M x n
Vector densidad de corriente volúmica de imantación	Jv = rot M
	D = e E
	J = s E
Ecuación de continuidad	ò J ds = - d q(t) / dt
Teorema de Gauss	ò D ds = Q (t)
Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos
Diamagnéticos	cm < 0 Los valores absolutos de cm son pequeños.
Paramagnéticos	cm > 0 En muchos casos la susceptibilidad paramagnética depende fuertemente de la temperatura:
Ley de P. Curie (1859 - 1906)	cm = m -1 = constante / T
Ferromagneticos	Posee una temperatura característica denominada temperatura de Curie.

Energía magnética
densidad de energía magnética: u = B^2 / (2 mo)	U = (1 / 2 mo) ò¥B^2 dV = L I^2 / 2 donde el ¥ significa que la integral se extiende a todo el espacio (donde exista campo magnético)
densidad de energía magnética: u = B H / 2	U = (1 / 2) ò¥ B H dV

Ecuaciones de Maxwell
Ñ x H = Jc + ¶ D / ¶ t	Ñ D = r
Ñ x E = -  ¶ B / ¶ t	Ñ B = 0
Ley de Gauss para el campo magnético	ò B ds = 0, pues hasta el momento no se han encontrado monopolos magnéticos, "el equivalente magnético de simples cargas eléctricas"
Forma general de la ley de Faraday	Un campo magnético variable produce un campo eléctrico: ò E d l = - d fB / d t donde fB = ò B ds

	forma integral	forma diferencial
1ª: ley de Gauss de la electricidad	ò E d s = qn /eo	div E = Ñ E = r / eo
2ª: ley de Gauss del magnetismo	ò B ds = 0	div B = Ñ B = 0
3ª: ley de la inducción de Faraday-Henry	ò E d l = - d fB / d t donde fB = ò B ds	rot E = Ñ x E = -  ¶ B / ¶ t
4ª: ley de Ampere	ò B dl = mo I + mo eo d fE / d t donde eo d fE / d t = id (corriente de desplazamiento)	rot B = Ñ x B = mo J + moeo¶ E / ¶ t

Ondas electromagnéticas
¶^2E (x, t) / ¶ x^2 = mo eo¶^2E (x, t) / ¶ t^2	E (x, t) = Eo sen (k x - w t)
¶^2B (x, t) / ¶ x^2 = mo eo¶^2B (x, t) / ¶ t^2	B (x, t) = Bo sen (k x - w t)
donde	Eo = c Bo k c = w 1 / c^2 = mo eo
Campo magnético a partir del campo eléctrico	B = (uk x E) / c
Campo eléctrico a partir del campo magnético	E = c B x uk
Vector de Poynting	S = E x H = (E x B) / mo lleva la dirección de propagación de la onda
Intensidad de una onda electromagnética	I = eo c Eo^2 / 2
Densidad de energía	rE (E) = eo E^2 / 2 rE (B) = B^2 / (2 mo) rE (E y B) = eo E^2 / 2 + B^2 / (2 mo) = eo E^2
Momento lineal y presión	Las ondas electromagnéticas transportan un momento lineal por lo que pueden ejercer presión sobre las superficies. La presión de radiación de una onda electromagnética que incide perpendicularmente sobre una superficie que la absorbe totalmente es: p = S / c

Transformadores
Vs / Vp = Ns / Np Is / Ip = Np / Ns Vs / Vp = Ip / Is	Vs : Tensión en bornes del secundario; Ns : número de espiras en el secundario Vp : Tensión en bornes del primario; Np : número de espiras en el primario
Si Ns > Np	Transformador elevador
Si Ns < Np	Transformador reductor

Efecto Hall
Cuando un conductor que transporta corriente se mantiene firmemente en un campo magnético, el campo ejerce una fuerza lateral en las cargas que se mueven en el conductor.
e EH = e vd B  ==> EH = vd B	donde EH es el campo Hall, vd la velocidad de deriva de los electrones.
fem del efecto Hall	eH = EH L = vd B L donde L es el ancho del conductor

Unidades
I: Intensidad	A = amperios
J: Densidad de corriente	A / m^2
B: Campo magnético	tesla 1 Tesla = 10^4 gauss = miriagauss
f: Flujo del campo magnético	weber = tesla . m^2 1 maxwell = 1 gauss . cm^2 1 weber = 10^8 maxwell
L	H = henrio, en honor a Joseph Henry (1797 - 1878)
mo: permeabilidad magnética	wb / (A m)

Relatividad especial

Postulados de Einstein de la relatividad	1. Las leyes de la física son iguales para todos los observadores que se encuentran en sistemas de referencia inerciales. 2. La medida de la velocidad de la luz en el vacío para cualquier observador inercial es independiente del movimiento de la fuente. c = 1 / [ mo eo]^1/2
Principio de correspondencia	A velocidades mucho menores que la velocidad de la luz las fórmulas relativistas se reducen a las fórmulas clásicas.
b = v / c	g = [1 - b^2]^-1/2 > 1
Contracción de la longitud	L = Lo [1 - b^2]^1/2 La longitud de un objeto es más corta cuando se mueve respecto al observador que cuando está en reposo.
Dilatación del tiempo	D t' = g Dt
Posición
x = g (x' + v t')	x' = g (x - v t)
y = y'	y' = y
z = z'	z' = z
t = g (t' + v x' / c^2)	t' = g (t - v x / c^2)
Velocidad
vx = (vx' + v) / (1 + v vx' / c^2)	vx' = (vx - v) / (1 - v vx / c^2)
vy = vy' / [g (1 + v vx' / c^2)]	vy' = vy / [g (1 - v vx / c^2)]
vz = vz' / [g (1 + v vx' / c^2)]	vz' = vz / [g (1 - v vx / c^2)]
Masa, energía
Masa	m = g mo donde mo es la masa en reposo
Energía	E = m c^2 E = mo c^2+ mo v^2 / 2 donde Eo = mo c^2es la energía en reposo
Energía cinética	Ec = m c^2-  mo c^2
A velocidades bajas v << c	Ec = mo v^2/ 2
px = g (px' + v E' / c^2)	px' = g (px - v E / c^2)
py = py'	py' = py
pz = pz'	pz' = pz
E = g (E' + v px')	E' = g (E - v px)
p^2 - E^2 / c^2 = p' ^2 - E' ^2 / c^2
Efecto Doppler relativista
Consideremos una fuente que emite una radiación electromagnética de frecuencia no medida por un observador en reposo respecto a la fuente. Si la fuente está en movimiento respecto a un observador la frecuencia percibida es n
Si la fuente y el observador se mueven el uno hacia el otro	n = no [ (c + v) / (c - v)]^1/2
Si la fuente y el observador se alejan el uno del otro	n = no [ (c - v) / (c + v)]^1/2
Si la radiación es perpendicular a la dirección del movimiento	n = no [ 1 - v^2 / c^2]^1/2

Física Cuántica

Radiación térmica
Radiancia espectral: RT (n)	RT (n) dn representa la energía emitida en forma de radiación con frecuencia comprendidas entre n y n + d n, a la temperatura R por unidad de área y de tiempo
	RT = 0ò^¥RT (n) d n, representa la potencia total emitida a la temperatura T por unidad de área.
Ley de Stefan - Boltzman	RT = s T^4donde s = 5.6703 10^-8 w / (m^2K^2) es la constante de Boltzmann
Potencia radiante	Pr = e s A T^4 donde s = 5.6703 10^-8 w / (m^2K^2) es la constante de Boltzmann e: emisividad (entre 0 y 1) que depende del estado de la superficie del cuerpo
Cuerpo negro	e = 1. Es un radiador perfecto y absorbe toda la radiación que incide sobre él
Potencia radiante neta de un cuerpo a la temperatura T con sus alrededores a la temperatura To	Pneta = e s A (T^4 - To^4)
Ley de desplazamiento de Wien	El espectro de potencia de energía electromagnética irradiada por un cuerpo negro tiene un máximo a una longitud de onda lmax que varía inversamente con la temperatura absoluta del gas: lmax = 2.898 / T (en mm K)

Naturaleza de la luz
Energía de un cuanto	E = h n = h c / l h = 6.63 10^-34 J s
Efecto fotoeléctrico	h n = h no  + Ec (max) no es la frecuencia umbral; Wo = h no es el trabajo de extracción del metal
Efecto Compton	Dl = lc (1 - cos q) lc = h / (me c) = longitud de onda Compton (para el electrón es: 2,42 10^-12 m) q : ángulo en el que sale dispersado el fotón
Corrimiento de Compton:	h / (me c) = 2.43 10^-12 m = 0.0243 A
Dualidad onda - partícula. Hipótesis de De Broglie	Toda partícula posee una onda asociada cuya longitud de onda (longitud de onda de De Broglie) es l = h / p = h / (m v)
Principio de incertidumbre de Heisenberg	D x D p ³ h / 4p D x: incertidumbre en la medida de la posición de la partícula; D p: incertidumbre en la medida del momento
	D E D t ³ h / 4p: No es posible determinar simultáneamente y sin errores el valor exacto de la energía de un proceso y el momento en que dicho proceso se producirá.

Física Cuántica
Densidad de probabilidad	p (x) = y^2(x)
Probabilidad de encontrar una partícula en una región dx en la posición x	y^2(x) dx
	-¥ò^¥y^2(x) dx = 1
Partícula en una caja (de 0 a L)	Energías permitidas: En = h^2 n^2 / (8 m L^2)
n = 1, 2, 3...	Funciones de onda: yn (x) = (2/L)^1/2 sen (n p x/L)
Principio de correspondencia de Bohr	En el límite de los números cuánticos muy grandes, los cálculos clásicos y cuánticos conducen a los mismos resultados.
Valores esperados	< f (x) > = ò f (x) y^2(x) dx
Oscilador armónico	En = (n + 1/2) h n
Átomo de hidrógeno	En = - 13.6 / n^2 eV  n = 1, 2, 3...
Cuantización del momento angular	L = [ l (l +1) ]^1/2 donde l = 0, 1, 2 ... y  = (h / 2 p)

Unidades
Electron-voltio	1 eV = 1.6 10^-19 J
Unidad de masa atómica	1 uma = 1,66 10^-27 kg = 931 MeV
Algunas masas	protón: 1,007593 uma neutrón: 1,008982 electróm: 5,5 10^-4 uma

Termodinámica

Escalas de temperaturas
C (Celsius o centígrada), F (Fahrenheit), R (Reamur), K (Kelvin, absoluta)	C / 5 = (F - 32) / 9 = R / 4 K = C + 273.15 (usualmente tomamos 273)
	0° C = 0° R = 32 °F 100° C = 80° R = 212 °F

Coeficientes
Coeficiente de dilatación	a = [ (¶V / ¶T)P  ] / V para un gas ideal: a = 1 / T
Coeficiente de compresibilidad isotermo	k = - [ (¶V / ¶P)T  ] / V para un gas ideal: k = 1 / P
Coeficiente piezométrico	b = [ (¶P / ¶T)V  ] / P para un gas ideal: b = 1 / T
Coeficiente de dilatación lineal	a = [ (¶L / ¶T)t  ] / L
Módulo de Young	Y = [ (¶t / ¶L)T  ] / S

Ecuación de estado
Relación entre P, T y V	P = P (V, T) T = T (P, V) V = V (P, T)
Gas ideal	Una gas es perfecto cuando obedece la ley de los gases perfectos. A presiones moderadas y a temperaturas no demasiado bajas, todos los gases químicamente estables se comportan como gases perfectos.
	P V = n R T = (m / M) R T = N k T donde m es la masa y M el peso molecular, k es la constante de Boltzman y N el número de moléculas
	R = NA k NA es el número de Avogadro
Ecuación de Van der Waals  (para n moles)	( P + a n^2/ V^2) (V - b n) = n R T donde b es el volumen de un mol de moléculas de gas a n^2/ V^2se debe a la atracción que las moléculas del gas ejercen entre sí
Ecuación de Berthelot	[ P + a / (T v^2) ] (V - b) = R T
Ecuación de Dieterici	p ( v - b) = R T exp [- a / (R T v) ]

Punto crítico
Temperatura crítica	La temperatura Tc para la cual y por encima de la cual es imposible la condensación de un gas por compresión.  La isoterma T = Tc presenta un punto de inflexión, denominado punto crítico.
Punto crítico	d^2P / dV^2 = dP / dV = 0 (en T = Tc)
Volumen crítico	Vc = 3 b n	Pc Vc = (3/8) n R Tc
Presión crítica	Pc = a / (27 b^2)
Temperatura crítica	Tc = 8 a / (27 b R)

Principio de calorimetría
Principio de calorimetría	Q cedido (por el cuerpo de mayor temperatura) = Q absorbido (por el de menor temperatura) ambos calor expresados en valor absoluto
Calor específico	Cantidad de calor que hay que suministrar a un gramo de masa de esa sustancia para elevar 1° C su temperatura Ce = DQ / [m DT] Para el agua vale: Ce = 1 cal / (g °C) = 4,184 J / (kg K) Para el hielo vale: Ce = 0,5 cal / (g °C) = 2,092 J / (kg K)
Capacidad calorífica	Cantidad de calor que hay que suministrar al cuerpo para elevar 1 °C su temperatura. C = m Ce (donde m es la masa del cuerpo)
Calor latente de fusión de un sólido	Cantidad de calor necesaria para fundir un gramo de sólido a temperatura constante. Q = m lf Coindice con el calor desprendido al solidificarse. Para el hielo a 0 °C vale 80 cal / g
Calor latente de vaporización de un líquido	Cantidad de calor necesaria para vaporizar un gramo de líquido a temperatura constante. Q = m lv Para el agua a 100 °C vale 539 cal / g

Primer Principio de la Termodinámica
d U = dQ + dW	U: energía interna; Q: calor; W: trabajo
dW = - P dV	- : lo que sale del sistema + : lo que entra al sistema
También podemos considerar, con el criterio de signos adecuado, d U = dQ - dW. En este caso, dW = P dV d U = dQ - P dV Adoptando este último criterio tendremos:
Criterio de signos para el calor:  El calor es positivo si el sistema lo recibe del ambiente (el sistema gana calor) El calor es negativo si el sistema lo cede al ambiente (pierde calor) Criterio de signos para el trabajo: El trabajo es positivo si lo realiza el sistema contra el ambiente (el sistema se expansiona) El trabajo es negativo si el ambiente realiza el trabajo sobre el sistema (el sistema se contrae)
Expansión isoterma (T = cte)	W = n R T ln (V2 / V1) DU = 0 (para un gas ideal) DH = 0
Proceso isócoro (V = cte)	W = 0 Q = D U = n Cv DT D H = n Cp DT
Proceso isóbaro (P = cte)	W = P (V2 - V1) Q = D H = ò Cp dT = Cp DT (si Cp es cte); para n moles: Q = n Cp DT D U = n Cv DT
Calor específico a volumen constante	Cv = (dQ / dT)V = (¶U / ¶T)V
Calor específico a presión constante	CP = (dQ / dT)P

(Gas ideal)	W	DU	Q	DH	DS
Isóbaro	P (V2 - V1)	n Cv DT	n Cp DT	n Cp DT	n Cp ln T2 / T1
Isócoro	0	n Cv DT	n Cv DT	n Cp DT	n Cv ln T2 / T1
Isotermo	n R T ln (V2 / V1)	0	n R T ln (V2 / V1)	0	n R ln V2 / V1
Adiabático P V ^g = cte	[P1 V1 - P2V2] / [g - 1]	- [P1 V1 - P2V2] / [g - 1]	0	n Cp DT	0
Politrópico P V^k = cte	[P1 V1 - P2V2] / [k - 1]	n Cv DT	DU + W	n Cp DT

Gas perfecto
Ecuación de estado	P V = n R T
Energía interna	U = U (T) H = H (T)
Ecuación de Mayer	Cp = Cv + R
gas monoatómico	Cv = 3 R / 2;  Cp = 5 R / 2;  g = 5/3 = 1.67
gas diatómico	Cv = 5 R / 2;  Cp = 7 R / 2;  g = 7/5 = 1.40
Proceso adiabático dQ = 0	P V ^g = cte;  T V ^g^-1 = cte;  T P ^(1-^g)^/^g = cte donde g = Cp / Cv  > 1 es el coeficiente adiabático Cp = g R / (g - 1) Cv = R / (g - 1) W = [P1 V1 - P2V2] / [g - 1]
La pendiente de una adiabática (P V ^g = cte) es mayor que la de la isoterma (P V = cte)
Proceso politrópico	P V^k = cte donde k es el índice de politropía

F = U - T S

G = H - T S

Energía cinética media de las moléculas de un gas	E = 3 k T / 2 donde k es la constante de Boltzmann
Temperatura absoluta de un gas	Es la energía media por molécula

Segundo Principio de la Termodinámica
	DS = 1ò^2dQ / T (reversible)
Gas ideal (suponiendo Cv y Cp constantes)	DS = n [Cv ln T2 / T1 + R ln V2 / V1]
	DS = n [Cp ln T2 / T1 - N R ln P2 / P1]
	DS = n [Cp ln V2 / V1 + Cv ln P2 / P1]
Proceso isóbaro (P = cte)	DS = 1ò^2Cp dT / T
Proceso isotermo (T = cte)	DS = Q / T
Proceso isócoro (V = cte)	DS = 1ò^2Cv dT / T
Proceso adiabático o isoentrópico	DS = 0
La entropía está relacionada con la probabilidad
Entropía de un gas ideal	S (T, V) = n Cv ln T + n R ln V + So

Potencial		Variables independientes	Diferencial
energía interna	U	S, V	d U £ T dS - p dV
energía libre de Helmholtz	F = U - T S	T, V	d F £ -S dT - p dV
entalpía	H = U + p V	S, p	d H £ T dS + V dp
potencial o entalpía libre de Gibbs	G = U - T S + p V	T, p	d G £ -S dT + V dp

Relación entre la energía interna y la ecuación de estado	(¶U / ¶V)T = T (¶P / ¶T)V  - P
	Cp = Cv + T (¶P / ¶T)V (¶V / ¶T)P
	Cp = Cv + a^2 T V / k

Capacidades caloríficas de los sólidos. Ley de Dulong y Petit	La mayoría de los sólidos tienen capacidades térmicas molares aproximadamente iguales a 3 R.
Condiciones de validez del principio de equipartición	Si el espaciado de los niveles de energía es grande comparado con KT, la energía no puede transferirse por choques y el teorema de equipartición clásico no es válido.

Máquinas térmicas
Trabajo neto durante un ciclo	W = W1 - W2 = Q1 - Q2 donde W es el trabajo realizado, Q1 el calor absorbido y Q2 el calor cedido
Rendimiento de una máquina térmica	h = W / Q1 = (Q1 - |Q2|) / Q1 < 1
Ciclo de Carnot	Comprende cuatro procesos reversibles: 1. expansión isotérmica y reversible del gas 2. expansión adiabática y reversible del gas 3. compresión isoterma reversible del gas 4. compresión adiabática reversible del gas.
	Rendimiento de una máquina de Carnot: h = (T1 - T2) / T1 donde T2 es la temperatura del foco frío

1 atm l = 101,3 J (100 J aprox.)
1 cal = 4,1845 J	1 J = 0,2389 cal
k = R / NA R = 0,082 atm l / (mol K) = 8,3144 J / (mol K) = 1,986 cal / (mol K) k (constante de Boltzman) = 1,3806 10^-23 J / K NA (número de Avogadro) = 6.0221 10^23
Condiciones normales de un gas	P = 1 atm = 1,013 10^5 Pa = 760 mm Hg T = 0 °C = 273,15 K
[F] = [G] = [H] = J	[S] = cal / K ó J / K
Calor específico	J / (kg K)

© 2026 Javier de Lucas