Se dispara un proyectil contra un blanco móvil

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Cinemática

Movimiento curvilíneo
Magnitudes cinemáticas
Tiro parabólico
Composición de
movimientos
Apuntar un cañón para
dar en un blanco fijo
Bombardear un blanco
móvil desde un avión
Tiros frontales 
a canasta
Alcance máximo en el
plano horizontal
Alcance máximo en el
plano inclinado
Otros máximos
marca.gif (847 bytes)Disparo de un proyectil
contra un blanco móvil
Barro que se desprende
de una rueda
Tiro parabólico y
movimiento circular
Torpedo a la caza de
un submarino
Descripción

Ángulos de disparo

Actividades 

Referencias

 

En esta página, se describe un problema de artillería que no tiene una solución sencilla.

Un cañón dispara un proyectil con velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Un carro de combate situado a una distancia d del cañón, en el momento del disparo, se mueve con velocidad constante u hacia el cañón. Se tratará de determinar el ángulo (o los ángulos) de disparo que hacen que el proyectil impacte en el carro de combate.

 

Descripción

El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos

  • Uniforme a lo largo del eje horizontal X

ax=0
vx=v·cos
θ
x= v·cos
θ·t

  • Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

ay=0
vy=v·sen
θ-g·t
y= v·sen
θ·t-gt2/2

El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es

x=d-u·t

El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·senθ/g

En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles

Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.

  1. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad u del carro de combate.

  1. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v

  1. El caso más interesante, es aquél en el que se conoce la separación inicial d, la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ

 

Ángulos de disparo

Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente

v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g=0

Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)

z=v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura. 

El máximo de la función z se produce

para un ángulo θm independiente de la distancia d

Los dos ángulos buscados θ1 y θ2 están en los intervalos (0, θm) y (θm, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente

Existe una distancia dm para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θm. El máximo de la función f(θm) es z=0.

Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que dm, no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.

 

Actividades

  • La velocidad v de disparo del proyectil se ha fijado en 100 m/s.
  • La distancia horizontal d entre el cañón y el carrao de combate en el momento del disparo se ha fijado en 1000 m.
  • El programa interactivo genera un número aleatorio comprendido entre 0 y 50 que representa la velocidad u del carro de combate. cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo
  • Se establece el ángulo de disparo, moviendo el dedo de la barra de desplazamiento, o introduciendo un ángulo en grados en el control de edición titulado Angulo.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del carro de combate desde la posición inicial x=1000 m, hacia el origen donde se encuentra el cañón.

  • Se cambia el ángulo de tiro y se pulsa el botón titulado Empieza
  • Se ensaya con varios ángulos de disparo hasta dar en el blanco.

Se completa una tabla de valores de z en función del ángulo de disparo θ y se dibuja en un papel la función

z=v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

  • la velocidad de disparo es v=100 m/s
  • la velocidad del carro de combate u es el valor suministrado por el programa, (en la parte derecha del applet)
  • la distancia inicial entre el cañón y el carro de combate es  d=1000 m,
  • g=9.8 m/s2.

Se comprueba que las raíces de la ecuación trascendente son aproximadamente iguales a los ángulos de disparo obtenidos por el procedimiento de ensayo.

Ejemplo:

Para una velocidad del carro de combate u=20.0 m/s, el máximo de la función f(θ) se produce para

Los ángulos de disparo que producen impacto en el carro de combate están comprendidos entre (0, 48.8º) y (48.8º, 90º) y son θ1=26.6º y θ2=71.5º, tal como puede verse en la primera representación gráfica

 

CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Montalvo D. Solving an "unsolvable" projectile-motion problem. The Physics Teacher, Vol 37, April 1999, pp. 226-227