El problema de dos cuerpos

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Dinámica

Sistemas de partículas
Dinámica de un
sistema de partículas
Sistemas aislados
Un bloque desliza
sobre una cuña móvil
Péndulo sobre una
plataforma móvil
marca.gif (847 bytes)El problema de dos
  cuerpos
Movimiento del c.m. y
de las partículas (I).
Movimiento del c.m.y
de las partículas.(II)
Un modelo de saltador
El problema de los dos cuerpos

java.gif (886 bytes)Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.

java.gif (886 bytes)Movimiento de caída bajo la fuerza de atracción mutua

Referencias

 

En esta página, se continúa con el estudio de los sistemas aislados formados por dos partículas.

 

El problema de los dos cuerpos

reducida.gif (2217 bytes) Supongamos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. Sobre la partícula de masa m1 actúa la fuerza F12, y sobre la partícula de masa m2 actúa al fuerza F21. Ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.

Las ecuaciones del movimiento de cada partícula son

m1a1=F12
m2a2=F21

Como vemos ma1+m2a2=0. La aceleración del centro de masa es cero. El centro de masas de un sistema aislado se mueve con velocidad constante, vc=cte

El problema de dos cuerpos se pueden reducir a un problema de un solo cuerpo, para ello, calculamos el valor de la aceleración relativa a1- a2

Se denomina masa reducida del sistema de dos partículas a

Podemos escribir la siguiente ecuación del movimiento

El movimiento relativo de dos partículas sometidas únicamente a su interacción mutua es equivalente al movimiento, respecto de un observador inercial, de una partícula de masa igual a la reducida y bajo una fuerza igual a la de interacción.

En el caso de que la interacción entre los dos cuerpos sea descrita por la ley de la Gravitación Universal

Siendo r el vector posición de la partícula 1 respecto de la 2, r=r1-r2. Para resolver este problema de un solo cuerpo, necesitamos únicamente hallar el vector r en función del tiempo.

La dispersión en el Sistema de Referencia del Centro de Masa y en el Sistema de Referencia del Laboratorio, será uno de los ejemplos más importantes en el estudio de un sistema aislado formado por dos partículas que interaccionan eléctricamente

 

Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.

Supongamos un sistema aislado formado por dos estrellas en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

m1r1=m2r2

r=r1+r2

La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor.

El movimiento de las dos estrellas es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida m , bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dos masas separadas una distancia r=r1+r2

cm2.gif (2032 bytes)  

Si dicha partícula describe un movimiento circular de radio r, su aceleración es w2·r. La segunda ley de Newton se escribe.

La cantidad w2·r3 es constante, lo que nos indica que el cuadrado del periodo P=2p /w es proporcional al cubo del radio r (tercera ley de Kepler para órbitas circulares)

Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masa reducida m, el movimiento de cada una de las estrellas es el siguiente:

  • La estrella de masa m1 describe un movimiento circular de radio r1=m2·r/(m1+m2), alrededor del c.m de periodo P.
  • La estrella de masa m2 describe un movimiento circular de radio r2=m1·r/(m1+m2), alrededor del c.m y del mismo periodo.

Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula y podemos suponer que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.

Ejemplo:

Calcular la masa de la Luna conocidos los datos siguientes:

  • Constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2
  • Distancia Tierra- Luna r=3.84·108 m
  • Masa de la Tierra m1=5.98·1024 kg
  • Periodo P=2.36·106 s (27.3 días)

De la fórmula del periodo P, se despeja la masa de la Luna m2=3.73·1022 kg

El valor correcto es 7.34·1022 kg. Nuestro cálculo se basa en un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también  para órbitas elípticas.

Hemos mostrado que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.

 

Actividades

Se introduce

  • La relación de masas m2/m1 de las estrellas un número comprendido entre 1 y 10 en el control de edición titulado Cociente masas M2/M1

Se pulsa el botón Empieza.

La masa de la estrella azul m1 es fija se puede cambiar la masa de la estrella roja. La distancia entre las estrellas permanece fija e igual a una unidad de longitud. Se ha establecido un sistema de unidades tal que el G·m1=1. El periodo se calcula entonces, mediante la siguiente fórmula

Considerar el caso de que ambas estrellas tienen la misma masa.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                                          

 

Movimiento de caída bajo la fuerza de atracción mutua.

Vamos a estudiar en esta sección el movimiento de caída de dos cuerpos de masas m1 y m2 bajo la fuerza de atracción mutua.

Supongamos que inicialmente los dos cuerpos están en reposo, separados una distancia r entre ambos. El centro de masa estará en reposo a una distancia r1 del cuerpo de masa m1 y a una distancia r2 del cuerpo de masa m2, como vemos en la figura

m1r1=m2r2

r=r1+r2

Como el sistema de dos partículas es aislado el centro de masas continuará en reposo en la misma posición.

Si establecemos el origen en el c.m. las ecuaciones del movimiento de los dos cuerpos son

Escribiendo r1 o r2 en función de r,

El movimiento de las dos cuerpos es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida m , bajo la acción de la fuerza que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre las dos masas separadas una distancia r=r1+r2

Eliminando el producto m1·m2

Supongamos que la separación inicial entre los dos cuerpos es r0. Definimos las variables adimensionales

x=r/r0,
τ=t/P

Siendo P el periodo del movimiento circular cuando ambos cuerpos están separados una distancia r0.

La ecuación del movimiento se transforma en otra más simple.

Integramos esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales τ=0, x=1, v=dx/dτ=0.

Empleando la regla de la cadena transformamos una ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.

Obtenemos la velocidad v relativa de un cuerpo respecto del otro integrando la ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial x=1, v=0

Cuando los cuerpos caen, x disminuye con τ, la velocidad v es negativa. Tenemos que integrar la ecuación diferencial de primer orden

con las condiciones iniciales τ=0, x=1.

La integral del miembro izquierdo se resuelve haciendo la sustitución

A continuación, se integra por partes quedando

Deshaciendo el cambio, evaluando el integrando para el límite superior e inferior, despejamos el tiempo adimensional τ.

                 (1)

Tenemos una ecuación implícita τ=τ(x), dado el valor de x podemos calcular el tiempo τ.

Ejemplo 1:

Cuerpo

Masa (kg)

Radio (m)

Sol

1.98·1020

6.96·108

Tierra

5.98·1024

6.37·106

Luna

7.34·1022

1.74·106

Sea el sistema formado por la Tierra y el Sol. Supongamos que la Tierra se detiene cuando está a una distancia de una unidad astronómica r0=1.49·1011 m del centro del Sol.

La posición inicial del Sol y de la Tierra respecto del origen situado en el c.m. es

a la izquierda del c.m.

r2=1.49·1011-4.5·105=1.49·1011 m

a la derecha del c.m.

El centro de masas del sistema formado por la Tierra y el Sol está muy cerca del centro del Sol que permanecerá prácticamente inmóvil dada su gran diferencia de masa con respecto de la Tierra.

Supongamos que la Tierra cae hacia el Sol, entra en contacto con el Sol, cuando la separación entre sus centros es r=6.96·108+6.37·106 m.

La Tierra está en reposo cuando su distancia del centro del Sol es x=1, y entra en contacto con el Sol cuando su separación es x=r/r0=0.0047.

Calculamos el valor del tiempo adimensional τ=0.177 mediante la fórmula (1).

Calculamos el periodo P de la órbita circular de la Tierra alrededor del Sol.

El instante en el que entran en contacto el Sol y la Tierra es t= τ·P=5558126 s=64 días.

Los centros de ambos cuerpos celestes coinciden r=0, ó x=0 en el instante

Ejemplo 2:

La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es 3.84·108 m

La posición de la Tierra y la Luna respecto del origen situado en el c.m. cuando su separación es r=x·3.84·108 m es

a la izquierda del c.m.

r2=3.84·108-r1m

a la derecha del c.m.

El periodo P de la órbita circular de la Luna y de la Tierra alrededor de su c.m. común es

Si se detiene la Tierra y la Luna cuando su distancia es r0=3.84·108 m o x=1. Sus centros coinciden r=0, ó x=0, en el instante t

 

Actividades

Se introduce

  • La masa m1 del primer cuerpo, en el control de edición titulado Masa 1

  • La masa m2 del primer cuerpo, en el control de edición titulado Masa 2

  • La distancia inicial r0 entre ambos cuerpos, en el control de edición titulado Distancia

  • En vez de introducir directamente los datos, se puede seleccionar el par de cuerpos celestes, en el control de selección titulado Ejemplos.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Nota: para introducir en un control de edición un número en notación exponencial, por ejemplo 1.49·1011, se escribe 1.49e11.

Se observa el movimiento de los dos cuerpos, en su movimiento de caída, hasta que los centros de ambos coinciden r=0 ó x=0.

En la parte superior del applet se proporciona.

  • El tiempo adimensional τ, y la distancia adimensional x entre los cuerpos.

  • El tiempo t en segundos, y la posición r1 y r2 en metros de cada unos de los cuerpos respecto del origen situado en el centro de masa.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Para el último apartado, "Movimiento de caída bajo la fuerza de atracción mutua"

Stewart M. Falling and orbiting. The Physics Teacher, Vol 36, February 1998, pp. 122-125.