Dinámica |
Sistemas de masa variable (I). Modelo discreto de cohete. Cohete de empuje constante Cohete de dos etapas Movimiento vertical de un cohete. Descenso del módulo lunar Cohete "perfecto" El cohete de Torricelli
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Conservación del momento lineal | |
Los cohetes que usan combustibles de tipo químico proporcionan un empuje u·D constante. Siendo u la velocidad de salida de los gases (en el Sistema de Referencia en el cohete) y D el combustible expulsado en la unidad de tiempo. Si el cohete se mueve con velocidad v, la velocidad de los gases respecto del observador terrestre es v-u, que no es constante. Esta solución no es la más eficiente, aunque sea la más utilizada. En esta página, vamos a estudiar el denominado cohete "perfecto" definido como aquél en el que la velocidad de salida de los gases u0 medida por el observador terrestre es constante. Por tanto, un cohete "perfecto" necesita de un motor que proporcione una velocidad variable de salida de los gases, que se incremente a medida que el cohete acelera. Los cohetes del futuro probablemente dejarán de emplear combustibles químicos, y usarán aceleradores de iones, láseres, o motores nucleares, etc. que podrían aumentar de este modo el rendimiento del cohete.
Conservación del momento linealComo se ha mencionado en la introducción a esta página y como se muestra en la figura, la velocidad de los gases expulsados respecto del observador terrestre es constante e igual a u0. La velocidad de salida de los gases para el observador situado en el cohete vale u0+v, si la velocidad del cohete es v. La conservación del momento lineal aplicada al sistema aislado formado por el cohete (de masa m y velocidad v) y los gases expulsados hasta el instante t, (masa m0-m y velocidad u0) es mv-(m0-m)u0=0 La ecuación del movimiento del cohete es muy simple Siendo D la masa de combustible quemado en la unidad de tiempo. Integrando, obtenemos la posición del cohete en función del tiempo (hay que integrar dos veces por partes)
Balance energéticoEnergía cinética del cohete Energía cinética de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t. Energía cinética total del sistema aislado formado por el cohete y los gases Rendimiento El rendimiento del cohete es grande, siempre que la masa final o carga útil que transporta m=m0-Dt (masa inicial menos combustible quemado) sea pequeña comparada con la masa inicial m0. Ejemplo
Masa total del cohete=carga útil+combustible+masa del recipiente m0=800+9000+0.05·9000=10250 kg
ActividadesSe introduce.
Se pulsa el botón titulado Empieza El applet simula un cohete perfecto, de modo que la velocidad de salida de los gases siempre es constante para el observador terrestre pero crece en el sistema de referencia del cohete a medida que éste se acelera. En la cola del cohete se dibuja una flecha que señala la fuerza de empuje u·D=(u0+v)·D. El empuje va aumentando a medida que aumenta la velocidad de salida de los gases u0+v en el Sistema de Referencia en el cohete. El cohete que estudiaremos, expulsará una cantidad constante D de combustible en la unidad de tiempo Se sugiere al lector que compare el comportamiento de dos cohetes con la misma carga y la misma cantidad de combustible, y el mismo valor para el parámetro D (combustible quemado por segundo).
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Cohete con aceleración constanteSi queremos que el cohete viaje con aceleración constante a, la masa de gas expulsada por segundo D, deja de ser constante Para que la aceleración a sea constante D debe variar con el tiempo de la forma indicada en la figura. Los datos son los del ejemplo de más abajo. La energía total del cohete más la de los gases expulsados será La potencia (energía por unidad de tiempo) suministrada por el motor es constante Ejemplo Supongamos un cohete con una masa inicial de 10000 kg y que la velocidad inicial de salida de los gases de1000 m/s, la potencia de su motor es de 50·106 W. Determinar, su velocidad al cabo de 5 minutos, la distancia que habrá recorrido y la masa de combustible que ha gastado.
ReferenciasGowdy, R.H. The physics of perfect rockets. Am. J. Phys. 63 (3) March 1995, pp. 229-232. |