Dinámica

Fuerza de rozamiento

El rozamiento por
deslizamiento

Medida del coeficiente
cinético (I)

Medida del coeficiente
cinético (II)

Medida del coeficiente
cinético (III)

Fuerza de rozamiento 
en un plano inclinado

El mejor ángulo para
 arrastrar un bloque

Medida del coeficiente
estático

Barra apoyada en dos
puntos móviles.

Placa apoyada en dos
rodillos que giran.

Dos bloques
superpuestos

Descripción de la experiencia

Actividades

La fuerza de rozamiento

Referencias

En esta página, se presenta un ejemplo más en el que se analiza la fuerza de rozamiento entre un cuerpo y la superficie horizontal sobre la que desliza. La novedad de este ejemplo, es que la reacción del plano no es constante sino que cambia con el ángulo que forma la fuerza aplicada con la horizontal.

Sea un bloque rectangular de masa m que está situado sobre un plano horizontal. Si aplicamos una fuerza T que hace un ángulo θ con la horizontal, ¿cuál debe ser el valor de dicha fuerza para que el bloque empiece a moverse?. Más aún, determínese el valor del ángulo θ para el cual la fuerza aplicada es mínima.

Habitualmente, los estudiantes tienden a identificar la reacción del plano o la fuerza normal N hacia arriba que ejerce el plano sobre el bloque, con el peso mg si el plano es horizontal, y con la componente perpendicular del peso mgcosθ si el plano está inclinado un ángulo θ. Vamos a ver en este ejemplo, que el valor de la reacción del plano N depende de las otras fuerzas que se aplican sobre el bloque.

Descripción de la experiencia

En el análisis de este problema solamente estamos interesados en la situación de equilibrio, mientras el bloque está en reposo sobre el plano horizontal, pero no estamos directamente interesados en el movimiento del bloque una vez que ha empezado a deslizar, no obstante, escribiremos las ecuaciones del movimiento.

• El bloque en reposo

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el bloque

El peso mg La fuerza aplicada T que forma un ángulo θ con la horizontal. La fuerza  N que ejerce el plano sobre el bloque La fuerza de rozamiento Fr.

Las condiciones de equilibrio se escriben

Tcosθ-F_r=0
Tsenθ+N-mg=0

Cuando el bloque empieza a deslizar la fuerza de rozamiento alcanza un valor máximo dado por F_r=μ_sN, siendo μ_s el coeficiente de rozamiento estático, y N=mg-Tsenθ

En esta situación, despejamos T del sistema de ecuaciones.   T es una función del ángulo θ.

Esta función tiene un mínimo, el mejor ángulo para arrastrar el bloque, que se obtiene derivando T respecto de θ, e igualando a cero.

El valor de la fuerza mínima T que tenemos que aplicar al cuerpo para que empiece a deslizar vale

• El bloque en movimiento

Una vez que el bloque empieza a moverse, la fuerza de rozamiento disminuye, ya que el coeficiente de rozamiento cinético μ_k es, de ordinario, menor que el estático μ_s. En la simulación hemos tomado arbitrariamente la siguiente relación μ_k=0.9 μ_s.

Tenemos que aplicar las ecuaciones de la dinámica al bloque y a las pesas que cuelgan de la polea.

• Movimiento del bloque

El bloque está en equilibrio en la dirección vertical

Tsenθ+N-mg=0

El bloque se mueve con aceleración a a lo largo del plano

Tcosθ-F_r=ma  con F_r= μ_k·N

• Movimiento de las pesas

Las pesas situadas en un platillo se mueven con aceleración a, ya que el platillo está unido al bloque mediante una cuerda inextensible que pasa por la polea.

Mg-T=Ma

 Se despeja la aceleración a de las ecuaciones del movimiento del sistema formado por el bloque y las pesas.

La aceleración a ya no es constante, depende del ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal, y este ángulo depende a su vez de la posición del bloque x.

Para determinar la posición x del bloque en función del tiempo t, hemos de resolver una ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales en el instante t=0, x=x₀, v=0.

Actividades

Se introduce 

• El coeficiente de rozamiento μ_s, en el control de edición titulado Coef. de rozamiento
• El ángulo que forma la cuerda con la horizontal, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo
• La masa m del bloque que está sobre el plano horizontal se ha fijado en 1 kg.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Aplicamos la fuerza T colocando pesas en el extremo de la cuerda que pasa por la polea, para ello, se selecciona el tipo de pesa y se arrastra con el puntero del ratón hasta colgarla del gancho, o de la pesa previa.

Se cambia

• El ángulo θ del plano inclinado, en el control de edición titulado Ángulo y se pulsa Enter o Retorno, o se actúa sobre la barra de desplazamiento.

Tenemos que acercarnos lo máximo posible al valor de la fuerza m_sN que hace que el bloque comience a deslizar con el juego de pesas disponible. En este caso, se dispone de un total de 16 pesas, cuatro de cada tipo:

• 5
• 25 g
• 100 g
• 500 g

Ponemos un ejemplo, que nos indica la forma de acercarnos al valor máximo de la fuerza de rozamiento.

1. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se empieza colocando una pesa de 500 g, el bloque no desliza. Se pone una segunda pesa de 500 g, el bloque desliza.
2. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g. Se añade una pesa de 100 g, el bloque no desliza. Se añade otra pesa de 100 g, el bloque desliza.
3. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g, y una pesa de 100 g. Se añade una pesa de 25 g, el bloque desliza.
4. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g, una pesa de 100 g. Se añade una pesa de 5 g, el bloque desliza.

El valor de la tensión T de la cuerda más cercana al valor máximo m_sN (por exceso) es

T=(500+100+5)·10.0/1000 =6.05 N

La aceleración de la gravedad se ha tomado como g=10.0 m/s²

Se pulsa el botón titulado Guardar,  para guardar este resultado "experimental" en el área de texto situado a la izquierda del applet.

Pulsando el botón titulado Gráfica

Se representa la fuerza aplicada T sobre el bloque para cada ángulo θ que forma la cuerda con la horizontal en el momento en el que el bloque empieza a deslizar.

Se señala también, el ángulo que corresponde al mínimo de la fuerza aplicada sobre el bloque

θ_mín=arctan(μ_s)   

Vemos que el resultado "experimental", un punto de color rojo que señala la medida efectuada se sitúa sobre la gráfica de la fuerza aplicada T en función de del ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal. Nuestra medida ha sido efectuada correctamente.

Para confirmarlo, calculamos su valor exacto de T para el ángulo θ=30º mediante la fórmula

En la parte superior izquierda del applet, se dibujan las fuerzas sobre el bloque. Observamos que la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque no es constante e igual al peso del bloque mg sino que va cambiando a medida que se modifica la fuerza aplicada T o el ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal.

La fuerza de rozamiento

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son:

El peso mg La fuerza aplicada T que forma un ángulo θ con la horizontal. La fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque La fuerza de rozamiento Fr.

Las condiciones de equilibrio se escriben

Tcosθ-F_r=0
Tsenθ+N-mg=0

Dado el valor de la fuerza aplicada T, podemos calcular la fuerza de rozamiento F_r y la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque:

N=mg-Tsenθ

La reacción N de la superficie horizontal se anula, es decir, el cuerpo se eleva sobre la superficie, si Tsenθ≥mg. Si N>0 la fuerza de rozamiento F_r tiene uno u otro de los siguientes valores:

• Si  T·cosθ <μ_s(mg-Tsenθ), el cuerpo está en reposo, y F_r=T·cosθ 

• Si  T·cosθ ≥μ_s(mg-Tsenθ), el cuerpo desliza, y F_r=μ_k(mg-Tsenθ)

Siendo μ_s el coeficiente estático de rozamiento

Actividades:

Se introduce

• El coeficiente de rozamiento estático μ_s, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. estático.

• El valor del cociente f=T/mg en el control de edición titulado Fuerza/peso

• El coeficiente de rozamiento cinético μ_k se ha tomado arbitrariamente igual a μ_s/2.

Se pulsa el botón titulado Dibuja.

En la parte inferior del applet, hay un pequeño cuadrado de color rojo que se puede arrastrar con el puntero del ratón hacia la izquierda o hacia la derecha. Al moverlo, el programa interactivo nos proporciona el valor de la fuerza de rozamiento f_r=F_r/mg para cada valor del ángulo θ seleccionado.

Para evitar que la reacción N sea menor o igual que cero y por tanto, el cuerpo ascienda, se introduce un valor de f=T/mg menor que la unidad.  

En la parte superior derecha del applet, se dibujan las fuerzas sobre el bloque y se indica si el cuerpo está en reposo o desliza.

En la figura, se representan tres curvas en función del ángulo θ¸comprendido entre 0º y 90º

• En color azul y rojo, se representa f·cosθ 

• En color verde, μ_s(1-f·senθ)

• En color azul y rojo, μ_k(1-f·senθ)

• En color rojo, se dibuja el valor de la fuerza de rozamiento f_r, que como vemos es una función discontinua.

Calculamos los ángulos θ para los cuales las curvas f·cosθ  y μ_s(1-f·senθ) se cortan.

f·cosθ =μ_s(1-f·senθ)

Primero se divide por cosθ,  a continuación se emplea la relación 1/cos²θ=1+tan²θ. Quedando la siguiente ecuación en x=tanθ.

Elevando al cuadrado ambos miembros, nos queda una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son

Pueden ocurrir los siguientes casos:

• Cuando el discriminante es negativo, no hay ninguna raíz

f·cosθ <μ_s(1-f·senθ) para todos los ángulos θ

Ejemplo 1:

Sea  μ_s=0.6 y f=0.5,

Comprobamos que el discriminante vale -0.02 es negativo.

Observamos en el applet, que la curva de color verde μ_s(1-f·senθ) se mantiene por encima de la curva  de color rojo f·cosθ, el cuerpo siempre está en reposo y la fuerza de rozamiento vale f_r= f·cosθ

• Cuando el discriminante es nulo

La raíz doble de la ecuación de segundo grado vale

tanθ=x= μ_s

Ejemplo 2:

Sea  μ_s=0.6, calculamos e introducimos el valor de f=0.514

Observamos en el applet, que la curva de color verde μ_s(1-f·senθ) se mantiene por encima de la curva  de color rojo f·cosθ, tocándose para el ángulo θ=31º. El cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento vale f_r= f·cosθ. Justamente para este único ángulo el cuerpo empieza a deslizar y la fuerza de rozamiento disminuye al valor  μ_k(1-f·senθ)

• Cuando el discriminante es positivo

Tenemos dos raíces x₁ y x₂ que corresponden a los ángulos θ₁ y θ₂, una de ellas es siempre positiva, la otra puede ser positiva o negativa. Supongamos que ambas son positivas tal como se aprecia en la figura,.más arriba

Ejemplo 3:

Sea  μ_s=0.6, e incrementamos la fuerza  f=0.55

Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado x₁ y x₂ y los ángulos correspondientes θ₁=10.26 y θ₂=51.66,

• En la región 0< θ< θ₁

f·cosθ es menor que μ_s(1-f·senθ), el cuerpo permanece en reposo y la fuerza de rozamiento es  f_r= f·cosθ

• En la región θ₁≤ θ≤ θ₂

f·cosθ es mayor que μ_s(1-f·senθ), el cuerpo desliza y la fuerza de rozamiento f_r disminuye al valor  μ_k(1-f·senθ)

• En la región θ₂< θ< 90º

f·cosθ es menor que μ_s(1-f·senθ), el cuerpo permanece en reposo, y la fuerza de rozamiento vale f_r= f·cosθ

Por tanto, en el intervalo angular (θ₁≤ θ≤ θ₂) el cuerpo desliza, para el resto de los ángulos el cuerpo permanece en reposo.