En Cosmología podemos definir algunas distancias que tienen ciertas propiedades especiales y que es conveniente conocer.

El Radio de Hubble r_H es la distancia a la que la velocidad de recesión de una galaxia es igual a la velocidad de la luz. La velocidad de recesión de una galaxia viene dada por la relación v = dr/dt = H r. H es la constante de Hubble y r es la distancia entre las galaxias que se separan.

Igualando a la velocidad de la luz, v=c, c=Hr, luego r_H = c/H = 3000 h^-1 Mpc, con h = H/100 .

El radio del universo observable es la distancia a los objetos más lejanos que podemos observar en principio debido al viaje finito de la luz desde el Big Bang. Esos objetos tendrán un desplazamiento al rojo virtualmente infinito. La distancia propia puede ser definida como la distancia recorridad por la luz c dt amplificada por la expansión del universo en una cantidad directamente proporcional al cambio del factor de escala a(t₀)/a(t) = 1/a(t) = (1+z). El horizonte de partículas representa el radio del universo observable.

El Radio del universo visible. La radiación electromagnética más primitiva que podemos observar, el fondo cósmico de microondas, proviene de la época en la que los electrones se combinaron con protones para formar hidrógeno (a unos 3000 grados) y corresponde a un desplazamiento al rojo de unos 1.100, cuando el universo tenía unos 300.000 años de edad.

Horizonte de eventos. Corresponde a la distancia de los objetos más lejanos que podremos observar en un futuro arbitrariamente lejano. El horizonte de eventos separa aquellos objetos en su interior que podremos observar en algún momento de aquellos objetos que jamás podrán ser observados por hallarse fuera del cono de luz futuro del observador.

Veamos las carácterísticas de estas distancias especiales en diferentes modelos de universos. Empecemos por un caso matemáticamente sencillo (veremos que conceptualmente no lo es tanto):

•  Expansión lineal a(t) = t/t₀

Esta situación podría darse idealmente en un universo vacío de materia y con una constante cosmológica igual a cero.
La constante de Hubble puede calcularse en este modelo como H₀ =1/a da/dt = 1/t₀ y no es más que la inversa de la edad del universo o tiempo de Hubble. Y por tanto el radio de Hubble será
r_H = c/H₀ = c t₀. Los objetos que están a esta distancia se alejarán del obsevador a la velocidad de la luz. La distacia a un objeto puede calcularse como la distancia recorridad por la luz c dt amplificada por la expansión del universo en una cantidad directamente proporcional al cambio del factor de escala a(t₀)/a(t) 1/a(t) =t₀/t = (1+z). El desplazamiento al rojo de los objetos en la esfera de Hubble tienen que cumplir log (1+z) = 1 y por tanto z = e - 1 = 1,718.

Observamos así algo importante. La esfera de Hubble no es un horizonte cosmológico. En principio podemos observar tranquilamente una galaxia situada más allá de la esfera de Hubble, de mayor desplazamiento al rojo que 1,718 y por tanto que se aleje a una velocidad mayor que c. Tenga el lector en cuenta que esto no contradice la relatividad especial porque la galaxia no es capaz de viajar más rápido que un rayo de luz que se mueva en sus proximidades. En realidad, la velocidad de una galaxia comparada con la luz que se mueve en sus inmediaciones es como mucho del orden de unos centenares de km/s (su velocidad peculiar). Vemos además que la velocidad a la que se aleja del observador la esfera de Hubble es dr_H/dt = c. Esto significa que la esfera de Hubble se aleja del observador a la misma velocidad que las galaxia que se encuentran sobre ella. Por tanto, la cantidad de galaxias (más especificamente la cantidad de materia) que permanecen dentro de la esfera de Hubble es constante con el tiempo.

Si ahora intentamos calcular la distancia al horizonte de partículas, vemos que la integral correspondiente diverge. Eso significa que no hay horizonte de partículas o que en principio podemos observar todo el universo. ¿Pero cómo puede ser esto así si el universo fuera arbitrariamente grande?. La razón es extraña desde el punto de vista intuitivo. Por muy alejadas que se encuentren dos galaxias en una determinada época, siempre encontramos un tiempo finito en el pasado donde se encontraban a una distancia lo suficiente pequeña para que la luz pudiera viajar entre ellas en el resto de tiempo disponible hasta dicha época. Esta es una propiedad bastante curiosa de los modelos de expansión lineal.

La ausencia de un horizonte de eventos dependerá de que el tiempo de expansión sea finito o infinito en el futuro. En un universo con un parámetro de expansión que aumenta linealmente con el tiempo, el tiempo de expansión disponible es en principio infinito y por tanto no existe un horizonte de eventos. En principio, si dejamos pasar el tiempo suficiente siempre podemos recibir la luz de un objeto por muy distante que se encuentre.


Universo de Einstein-de Sitter. a(t) = (t/t₀)^2/3


El universo de tipo Einstein-de Sitter es el caso más sencillo de universo dominado por materia y, consecuentemente, en expansión desacelerada.

La constante de Hubble en este caso puede ser calculada como

H₀ =1/a da/dt = 2/(3 t)

Por tanto, el radio de Hubble será

r_H = c/H₀ = 3/2 c t₀

Los objetos que están a esta distancia se alejarán del observador a la velocidad de la luz. La distancia r a un objeto puede calcularse como la distancia recorridad por la luz c dt amplificada por la expansión del universo en una cantidad directamente proporcional al cambio del factor de escala  a(t₀)/a(t) = 1/a(t) =(t/t₀)^-2/3 = (1+z). Por tanto tendremos que la distancia a un objeto de desplazamiento al rojo z viene dada por una expresión donde vemos que el desplazamiento al rojo de los objetos en la esfera de Hubble tienen que cumplir

2 [1-(1+z)^-1/2] = 1 ó z = 3

La esfera de Hubble se aleja del observador a una velocidad  igual a 3/2 c, lo que significa que las galaxias que se encontraban fuera de esta esfera la cruzan hacia el interior a una velocidad relativa de 1/2 c. En otras palabras, el número de galaxias dentro de la esfera de Hubble aumenta con el tiempo.

Vemos por tanto que galaxias (superlumínicas) que se encuentran en algún momento fuera de la esfera de Hubble terminan por entrar y convertirse en sublumínica. La luz emitida por esta galaxia empieza en algún momento a acercarce al observador terminando por alcanzarlo en algún momento.

¿Y el horizonte de partículas?. Si calculamos la integral

r_P = r (z®¥)  = 3 c t₀

obtenemos una respuesta finita, lo que implica la existencia de un horizonte de partículas y por tanto un universo observable finito.

La velocidad de recesión del horizonte de partículas es de 3 c, mientras que la velocidad de recesión de las galaxias es

v = H₀ r_P = 2/3 t₀ 3 c t₀= 2 c

lo que implica que nuevas galaxias entran en el universo observable a velocidad c, y a medida que transcurre el tiempo podemos ver mayor parte del universo. A consecuencia de esto, el modelo de Einstein-de Sitter carece de horizonte de eventos.


•  
• Universo en expansión exponencial. Universos tipo deSitter. a(t) = exp [(t-t₀)/t₀]

Los universos de tipo de Sitter tienen gran importancia en el escenario conocido como inflación donde el universo se expande exponencialmente con una tasa de expansión tremenda (doblando su tamaño unas 80 veces en 10^-33 s).

En este caso, la constante de Hubble permanece realmente constante con el tiempo, pues

H = 1/a da/dt = 1/t₀

donde t₀ representa en este caso un tiempo característico de expansión que no tiene por qué tener ninguna relación en principio con la edad del universo. Por ello es más conveniente escribir el parámetro de expansión como

a(t) = exp [H (t-t₀)]

Siendo t-t₀ el intervalo de tiempo considerado.
Debido a la constancia de la constante de Hubble, el radio de Hubble permanece fijo. Por tanto, las galaxias saldrán del radio de Hubble a la velocidad de la luz.

Tendremos que la distancia a un objeto de desplazamiento al rojo z viene dada por

r(z) = c z/H

Y los objetos que se encuentre a desplazamiento al rojo z = 1 se alejan del observador a la velocidad de la luz.

El horizonte de partículas se encontraría a una distancia r (z®¥) y por tanto arbitrariamente lejos del observador. En otras palabras, un universo tipo de Sitter carece de horizonte de partículas y podemos decir que todos los objetos estuvieron en algún momento suficientemente cerca para que la luz pudiera llegar hasta nosotros (este hecho implica que inflación resuelva el problema del horizonte).

Sin embargo, debido a que los objetos salen de la esfera de Hubble a la velocidad de la luz, la luz de objetos que se encuentren más allá de la esfera de Hubble (z > 1) empezará a alejarse del observador, y por tanto, sucesos que ocurran ahora mismo a distancias mayores que el radio de Hubble no serán nunca observables  aún en un futuro arbitrariamente lejano. La esfera de Hubble actúa por tanto como un horizonte de eventos.


Una manera intuitiva de entender la existencia de los diferentes tipos de horizontes es mediante el uso de diagramas espacio-tiempo conformes. En un diagrama espacio-tiempo conforme, se representa en el eje horizontal la distancia comóvil r frente al tiempo conforme t en el eje vertical siendo
t = ò dt/a(t) . En esas coordenada los rayos de luz tienen trayectorias rectas de la forma r = t₀ -t siendo t₀ el tiempo conforme en el momento de observación.

El observador se encuentra en el punto O. El radio del universo observable es la distancia OP formada por todos los objetos desde donde ha podido llegar la luz (lineas rojas) hasta el observador en algún momento desde el Big Bang (línea horizontal inferior del diagrama). El momento en que el fondo cósmico de microndas empieza a viajar libremente sin interaccionar con la materia (indicado con la línea horizontal azul) marca el límite del universo visible (distancia OD).

Es importante apreciar el hecho de que los sucesos indicados con c son los sucesos más lejanos del observador que han podido ser influidos por lo sucedido en su pasado mutuo. Por simple geometría se puede ver a partir del triángulo en rojo, que esta distancia mínima OC = OP/3. En otras palabras, objetos que se encuentren en direcciones opuestas del cielo y situados en menos de 1/3 del radio universo observable están causalmente conectados.

También se puede notar que si la integral ò dt/a(t) diverge cuanto t®0  estaremos en un universo con edad conforme infinita (aunque su edad sea finita) y por tanto sin horizonte de partículas, pues en principio los rayos de luz pueden proceder de cualquier objeto, por muy alejado que se encuentre. Esto se puede compreder fácilmente en el diagrama prolongando el eje vertical infinitamente hacia el pasado.

El otro caso interesante es cuando la integral ò dt/a(t) converge cuanto t®¥.  En este caso estaremos en un universo limitado en el futuro en tiempo conforme y con un horizonte de eventos.

Modelo con constante cosmológica

En la figura de Lineweaver 2003 se pueden ver tres representaciones espacio-temporales equivalentes de un universo con W_m ~ 0.3 y W_l ~0.7 en el que –según parecen indicar observaciones recientes– nos hallamos. La línea central vertical corresponde al observador comóvil. Las líneas discontinuas representan las líneas de mundo de galaxias lejanas etiquetadas por el desplazamiento al rojo que mide el observador hoy en día.

El primer recuadro es una representación de la distancia propia frente al tiempo de expansión como medido por el observador comóvil. En el pasado inmediato del observador, el cono de luz es un cono (como en relatividad especial). Pero a medida que nos vamos al pasado toma forma de lágrima, de tal forma que la luz que nos llega hoy en día de los objetos más  lejanos estuvo alejándose de nostros en los primeros eones de expansión, una característica común a todos los modelos de un universo en expansión.

En el segundo recuadro se elimina la expansión del universo al representar la distancia comóvil radial (fija para cada galaxia) en lugar de la distancia propia. En esta representación podemos observar cómo el horizontes de eventos se estrecha contra el observador a medida que el futuro del universo está dominado por el efecto de la constante cosmológica. El universo se comporta como un modelo de deSitter, donde la esfera de Hubble actuará como horizonte de eventos y las galaxias lejanas irán desapareciendo paulatinamente de nuestra vista hasta que sólo podamos contemplar las galaxias más próximas que tienen hoy en día desplazamientos al rojo considerablemente menores que la unidad.

El tercer cuadro es un diagrama conforme espacio-temporal donde se puede observar cómo las galaxias más lejanas que podemos observar (horizonte de partículas) se hallan hoy en día a 47 mil millones de años luz. Vemos como en sólo 13,5 mil millones de años de expansión, ha dilatado las distancias entre las galaxia de tal forma que los fotones se mueven por el espacio comóvil a una velocidad que en cada momento es c/a(t) = (1+z) c.

Horizontes de partículas en los escenarios  inflacionarios

De acuerdo con los escenarios inflacionarios, una expansión exponencial ocurrió en el universo muy temprano cuando habían transcurrido unos 10^-35 segundos desde el Big Bang y la energía característica rondaba la escala de Gran Unificación (~ 10¹⁵ GeV).

Dicha expansión exponencial duró una cantidad finita (y muy pequeña) de tiempo de tal forma que las escalas de distancia crecieron en un factor enorme que podemos poner como

a(t_f)/a(t_i) = e^N

siendo  a(t_f) el parámetro de expansión en el momento de finalizar el periodo inflacionario, a(t_i) el parámetro de expansión en el momento inicial de inflación y N una medida apropiada del incremento de la escala de distancias.

En una expansión exponencial el parámetro de expansión evoluciona como

a(t) = a(t_i) exp [H (t-t_i)]

Un observador después de que haya ocurrido la transición inflacionaria verá el horizonte de partículas a una distancia

r_P = c ò₀^tfa(tf) dt/a(t) =c ò₀^tia(tf) dt/a(t) + c ò_ti^tfa(tf) dt/a(t)

Despreciando la contribución del universo preinflacionario y teniendo en cuenta que  da(t) = H a(t) dt tenemos que

r_P =  c/H a(tf)  ò_a(ti)^a(tf)da/a²(t) = c/H {a(tf)/a(ti)-1}

Luego r_P = c/H {e^N-1}
y el horizonte se aleja del observador durante la inflación a una velocidad superlumínica

dr_P/dt= c/H e^N dN/dt = c e^N

y mientras que una partícula situada en el horizonte del observador se aleja a una velocidad

v = H r_P = c {e^N-1}

^{donde se ve fácilmente que el horizonte traspasa a las partículas que se hallan en él a velocidad c, como debe ser siempre el caso.}
Puesto que el radio de Hubble permanece constante a una distancia c/H, todas las partículas son barridas mucho más allá del radio de Hubble por el periodo inflacionario. Sin embargo, cualquier partícula que se encontrara dentro del universo observable antes de inflación permanecerá dentro del universo observable después de inflación.

                                      © Javier de Lucas