Movimiento ondulatorio

Interferencia y 
difracción

Tubo de Quincke

Interferencia de las
ondas producidas
por dos fuentes (I)

Interferencia de las
  ondas producidas
  por dos fuentes (II)

Interferencia de la 
ondas producidas
por varias fuentes

Difracción producida
por una rendija

Interferencia más
difracción

Difracción abertura
rectangular y circular

Difracción de Fresnel

Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas

Intensidad

Actividades

Referencias

En esta página, se prosigue el estudio de la interferencia producida por dos fuentes sincrónicas en el plano que contiene las dos fuentes y el punto de observación.

Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas

Consideremos dos fuentes puntuales S₁ y S₂ que oscilan en fase con la misma frecuencia angular w , y que emiten ondas armónicas.

Cuando emite solamente S1 el punto P describe el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de amplitud A1 y frecuencia angular w . y1=A1·sen(kr1-w t) Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y frecuencia angular w . y2=A2·sen(kr2-w t)

Cuando emiten simultáneamente S₁ y S₂. El punto P describe un M.A.S. que es la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de fase.

En fase o interferencia constructiva.

Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de 2p .Teniendo en cuenta que k=2p /l kr2-kr1 =2np     r2-r1 =nλ La amplitud resultante es la suma de amplitudes A=A1+A2

En oposición de fase o interferencia destructiva.

Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de p .Teniendo en cuenta que k=2p /l kr2-kr1 =(2n+1)p     r2-r1 =(n+½)λ La amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. Si ambas son iguales, el punto P no se mueve.

Amplitud resultante

En el caso general, es necesario sumar vectorialmente las amplitudes para obtener la resultante.

• La amplitud es máxima A=A₁+A₂ cuando kr₂-kr₁=2nπ
• La amplitud es mínima A=A₁-A₂ cuando kr₂-kr₁=(2n+1)π

Si la separación d de las fuentes S₁ y S₂ es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r₁ y r₂ y suponer que las amplitudes A₁ y A₂ son prácticamente iguales. Podemos escribir

Máximos y mínimos de intensidad

	En la figura, vemos la amplitud debida a la interferencia de las ondas emitidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, tal como se vería en una cubeta de ondas cuando nos situamos cerca de las fuentes.
	En la figura, vemos la intensidad debida a la interferencia de las ondas producidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, codificada en escala de grises. El color negro indica mínimo de intensidad y el color blanco máximo de intensidad.
	Las curvas que describen los máximos (en color azul) y mínimos (en color rojo) de intensidad es el lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya ecuación y=f(x) vamos a determinar

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de caminos es Δ es r₂-r₁=Δ.

r₂ es la distancia de la fuente S₂ al punto P y r₁ es la distancia de la fuente S₁ al punto P.

Δ=2nπ, si la interferencia es constructiva (máximo de intensidad) Δ=(2n+1)π/2, si la interferencia es destructiva (mínimo de intensidad)

Si las coordenadas del punto P son (x, y), y (0, ±d/2) son las posiciones de las fuentes, la ecuación de la curva r₂-r₁=Δ. es

Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz cuadrada

Elevando al cuadrado ambos miembros otra vez, obtenemos

que es la ecuación de una hipérbola

Si la pantalla se encuentra a una distancia x de las fuentes. Las posiciones de los máximos y los mínimos se calculan despejando y de la ecuación de la hipérbola

El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2, El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3λ/2 y así, sucesivamente.

Como podemos apreciar en la figura, la hipérbola se aproxima a una recta, su asíntota, cuando nos alejamos una distancia no demasiado grande de las fuentes.

Despejamos el cociente y/x en la ecuación de la hipérbola

La pendiente de la asíntota se calcula en el límite cuando x→∞

Empleando la relación trigonométrica

Con esta aproximación, la diferencia de caminos r₂-r₁=Δ≈d·senθ. Esta última relación, nos permite determinar las direcciones θ para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva.

El primer máximo, se produce cuando Δ=0, para el ángulo θ=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2, para el ángulo d·senθ= λ/2 El segundo máximo, se produce para Δ=λ, para el ángulo d·senθ= λ El segundo mínimo, se produce para Δ=3λ/2, para el ángulo d·senθ= 3λ/2

Si la pantalla está a una distancia x de las fuentes, la posición y de los máximos y mínimos de intensidad se calcula mediante al relación

y=x·tanθ

En la mayor parte de los experimentos, incluso en la cubeta de ondas es difícil apreciar  la parte curva de las hipérbolas, lo podemos comprobar al final de la página en la  simulación de la cubeta de ondas.  En un experimento de óptica, la distancia entre las fuentes d=2·10^-4 m, la longitud de onda λ=6·10^-7 m, y la distancia a la pantalla x=2 m.

Ejemplo

• La separación entre las fuentes es d=100
• La longitud de onda es λ=50

1. La posición de la pantalla se encuentra en x=100,

Determinar las posiciones y de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla. Utilizamos la fórmula

• El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  y=0
• El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, y=28.7
• El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, y=62.9
• El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3λ/2=75, y=119.4

2. Se aleja la pantalla de las fuentes  en la posición x=200

• El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  y=0
• El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, y=53.1
• El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, y=118.1

Si suponemos que la hipérbola en esta posición se aproxima a una recta, su asíntota

Calculamos las direcciones mediante la fórmula d·senθ=Δ y las posiciones mediante la expresión, y=x·tanθ

• El primer máximo, se produce cuando Δ=0,  θ=0, y=0
• El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, θ=14.5º, y=51.6
• El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, θ=30º, y=115.5

Como vemos, aunque la pantalla sigue estando cerca de las fuentes la aproximación d·senθ=Δ, da buenos resultados.

 

Intensidad

Las condiciones de interferencia son

Las direcciones q  para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva se calculan

Las posiciones y sobre la pantalla situada a una distancia x de las fuentes, que registran interferencia constructiva y destructiva se calculan mediante y=x·tgq .

Si el ángulo q  es pequeño podemos hacer la aproximación, senq ≈tgq =y/x

La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de la amplitud,

I es la intensidad resultante en el punto P cuando las dos fuentes emiten simultáneamente, e I₀ es la intensidad en el punto P debido a una sola de las fuentes.

En la figura, se muestra la gráfica de la intensidad, el máximo es 4I₀. y el mínimo 0.

Actividades

Se introduce

• La longitud de onda λ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud de onda, o en el control de edición correspondiente.
• La separación d, entre las dos fuentes, actuando en la barra de desplazamiento titulada Separación , o en el control de edición correspondiente.

Se pulsa el botón titulado Dibuja

Se muestra, a la izquierda del applet, el diagrama de amplitudes resultado de la interferencia de las ondas producidas por las dos fuentes sincrónicas. Esta figura es similar a la que se puede observar en el laboratorio cuando se realiza una experiencia con la cubeta de ondas.

A la derecha, el diagrama de intensidades. La intensidad en cada punto se codifica mediante un color perteneciente a la escala de grises. La intensidad máxima corresponde al blanco y la mínima al color negro.

Si se activa la casilla titulada Posiciones y se pulsa el botón titulado Dibuja

Se sustituye este último diagrama, por la representación gráfica de las hipérbolas que describen el lugar geométrico de los puntos P tal que la diferencia de caminos r₂-r₁ de las fuentes S₂ y S₁ al punto P es un múltiplo entero de la longitud de onda nl  (en color azul) o de los puntos cuya diferencia de caminos es un múltiplo semientero de la longitud de onda (n+½)l (en color rojo).

Con el puntero del ratón se mueve la pantalla, acercándola o alejándola de las fuentes.

Para una posición x, se puede medir mediante la regla vertical, las posiciones de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla.