RELATIVIDAD

LA FORMULA FAMOSA

1.- Y VOLVIO A HACERSE LA LUZ

El famoso poeta inglés Alexander Pope, escribía, dirigiéndose a Newton: "la Naturaleza y las leyes naturales se ocultaban en la noche, hasta que Dios dijo: "¡Que nazca Newton!...y se hizo la luz". Albert Einstein cambió sustancialmente las bases de la Física, que había entrado en crisis, fundamentalmente, con la falta de explicación a los resultados del experimento de Michelson y Morley.

A finales del siglo XIX, la Física Clásica, basada en la relatividad de Galileo, las leyes de Newton y la Teoría Electromagnética de Maxwell, estaba tan asentada en estos pilares, que la comunidad científica daba por hecho su inmutabilidad. Sin embargo, y poco tiempo más tarde, la aparición de un físico genial y solitario, Albert Einstein, por un lado, y de Max Plank y sus seguidores, por otro, revolucionó de tal manera la Física, que aún hoy mucha gente se pregunta si la Física es una sola, o son realmente tres, la Clásica, la Relativista y la Cuántica.

Responderemos más adelante a esta cuestión, pero parece conveniente centrarse ahora en la figura de Albert Einstein, creador de la Relatividad Especial o Restringida y la Relatividad General, así como de otros trabajos que, si no tan trascendentales, sí tan importantes como para obtener con uno de ellos el premio Nobel.

Einstein nació en el año 1879, en la ciudad alemana de Ulm, de familia judía. Un año después la familia se trasladó a Munich (Baviera), donde el pequeño Albert cursó los estudios primarios y secundarios, siendo un alumno, en opinión de sus profesores, de escaso aprovechamiento, distraído, rebelde y poco comunicativo, aunque destacase ligeramente en Matemáticas y en Física.

Los estudios universitarios los realizó en la Escuela Superior de Aaran (Suiza), y una vez terminados no encontró un trabajo acorde con su titulación, por lo que tuvo que aceptar un empleo en la Oficina de Patentes de Berna. Lo positivo de este hecho fue que al contar con mucho tiempo libre, lo utilizó para investigar autónomamente, lo que le condujo a publicar, en el año 1905, tres artículos en una revista científica, Annalen der Physik 12, uno de los cuales sentó las bases de la Relatividad Especial, el titulado "Sobre la Electrodinámica de los cuerpos en movimiento". Los otros dos artículos versaban sobre el movimiento browniano, el primero, y sobre el efecto fotoeléctrico, el segundo, y a este trabajo hizo referencia el premio Nobel obtenido en el año 1921.

En 1909 es nombrado profesor de la Universidad de Zurich, y en 1913 profesor de la Universidad de Berlín y director del Instituto Kaiser Whilhem, donde estuvo 20 años; en ese período obtuvo el premio Nobel de Física en 1921. En 1933, por razones políticas y sociales, se trasladó a Princeton, New Jersey, donde se nacionalizó norteamericano y residió hasta su fallecimiento, en 1955. En este tiempo alternó sus tareas de enseñanza e investigación, recorrió el mundo dando conferencias y trató en vano de formular una Teoría Unificada sobre las interacciones básicas, asunto no resuelto aún en la actualidad.

Tenía un espíritu científico tolerante, aunque sus convicciones eran muy profundas, y las defendía con ardor. De carácter pacifista, su religiosidad, no concretada, se basaba en la identificación de Dios con el orden y las leyes de la Física. Era un hombre individualista, aunque solidario, y muy proclive a la justicia social.

2.- DOS TEORIAS DE LA RELATIVIDAD.

Aunque al hablar de Einstein siempre se le suele identificar como el creador de la Teoría de la Relatividad, es importante aclarar que las innovaciones que introdujo en la Física dentro de lo que se entiende por relatividad pueden desglosarse en una Teoría inicial donde introduce la velocidad de la luz como una constante absoluta, que no se puede componer con otras velocidades, (lo que invalida en este caso la relatividad de Galileo), y otra Teoría posterior más amplia, en la cual los fenómenos gravitatorios se estudian mediante una profunda interrelación entre materia y geometría, en un espacio no euclídeo (el espacio-tiempo), cuya métrica está determinada por la distribución de materia.

La primera Teoría, que se expondrá en este trabajo, se conoce con el nombre de Relatividad Especial o Restringida, referida a los sistemas inerciales. La segunda, Relatividad General, desarrollada por Einstein en 1916, es una ampliación de la primera, y está referida al estudio de los sistemas acelerados, estableciendo la equivalencia entre un sistema acelerado y un Campo gravitatorio.

La Relatividad General sostiene que las leyes de la Naturaleza son las mismas para todos los observadores aunque se hallen acelerando los unos con respecto a los otros; así, incluye a la Especial, pero abarca mucho más; puede considerarse como una nueva Teoría de la Gravitación, en la cual Einstein considera la gravedad como una propiedad del espacio más que una fuerza entre cuerpos. La presencia de la materia provoca una curvatura en el espacio y los cuerpos, al caer libremente, siguen las líneas de longitud mínima, llamadas geodésicas. La gravedad resulta ser consecuencia de la curvatura del espacio inducida por la presencia de un objeto masivo, en un Universo curvado por las masas, basado en la geometría de Riemmann, donde los rayos luminosos no se desplazan en línea recta, sino en geodésicas, líneas que siguen el camino más corto entre dos puntos a través de un espacio curvo.

La Relatividad Especial no contradice a la Física Clásica: abarca la física newtoniana antes que reemplazarla; reproduce a Newton a velocidades bajas, pero describe los fenómenos con mayor precisión a velocidades altas.

La afirmación de que nada puede viajar más aprisa que la luz, según esta Teoría, no es estrictamente cierta. Ocurre que al ir aumentando la velocidad de un objeto, crece su masa, con lo que al llegar a c, su masa se hace infinita, por lo que se necesitaría una fuerza infinita para acelerarla. Algunos científicos han sugerido la existencia de los taquiones, partículas que siempre se mueven a velocidades superiores a la de la luz, y que no pueden ser desaceleradas a velocidades inferiores.

La Mecánica Cuántica, iniciada por Max Plank en 1900 y continuada por Bohr, Heisemberg, Dirac, Schroedinger y otros, describe con gran precisión el comportamiento de partículas subatómicas, acercando sus planteamientos a los hechos experimentales de una forma mucho más acentuada que la Relatividad, desde una perspectiva probabilística y un desarrollo matemático muy complejo. Aunque se han hecho integraciones parciales relativo-cuánticas, como, por ejemplo, en la Teoría de Hawking sobre la radiación de los agujeros negros, no se ha logrado aún una Teoría Unificada, asignatura pendiente para los físicos del siglo XXI.

3.-RELATIVIDAD GALILEANA

Supongamos un avión que vuela en horizontal con una velocidad constante "v". Si en un instante dado deja caer una bomba, el piloto siempre verá la bomba bajo su vertical, mientras un observador situado en tierra verá la bomba describir una trayectoria parabólica, composición de un movimiento rectilíneo y uniforme según la horizontal (prescindiendo del rozamiento del aire), y uno de cada libre según la vertical, de manera que ambas trayectorias se cortan en el suelo, por lo que el tiempo de cada uno es, naturalmente, el mismo para ambos observadores. Pero las trayectorias seguidas por la bomba son diferentes; ¿cuál es la "auténtica"?. Evidentemente, la pregunta carece de sentido:

los dos observadores expresan su verdad, todo depende del sistema de referencia utilizado en la observación del fenómeno.

Otro ejemplo: un pasajero de un tren, cuya velocidad es Va, corre por el pasillo de un vagón con una velocidad Vb. ¿Cuál es la velocidad "auténtica" del pasajero? Para un observador situado en el andén, esta velocidad es Va + Vb, mientras que para otro pasajero que vaya sentado en el vagón, la velocidad es Va. No existe una velocidad "verdadera", todo depende del sistema de referencia utilizado, el concepto es por tanto relativo.

Galileo, el gran físico y astrónomo italiano nacido en Pisa en el año 1564, estudiando el comportamiento de los cuerpos en movimiento, había llegado a estas y otras conclusiones, que permanecían vigentes para los físicos de finales del siglo XIX. Sin embargo, un conocido experimento que ha pasado a la historia de la Física, y que en principio no pretendía ni mucho menos poner en evidencia la relatividad de Galileo, llegó a unos resultados desconcertantes, que sólo el genio de Einstein fue capaz de explicar.

4.- EL EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY

Hagamos una analogía con el experimento, suponiendo dos lanchas motoras, A y B, que se encuentran en la orilla de un río. Ambas lanchas pueden alcanzar la misma velocidad "c", y la corriente del río, que suponemos fluye de izquierda a derecha, lleva una velocidad "v". La lancha A recorre aguas abajo la distancia "d", gira instantáneamente y vuelve agua arriba al punto de partida. La lancha B hace también un recorrido "d", pero en dirección perpendicular a la corriente, girando instantáneamente y regresando al punto de partida. Los tiempos invertidos por cada lancha, ¿son iguales?. Evidentemente no. El tiempo de A es igual a

tA = 2d/c(1-v2/c2) y el tiempo de B es

tB = 2d/c (1-v2/c2)^1/2

Eso significa que tB<tA, ya que tA/tB = 1/(1-v2/c2)^1/2

siendo, por tanto, v = c(1-tB2/tA2)^1/2

Este sencillo ejemplo de relatividad galileana muestra cómo se puede averiguar la velocidad v de la corriente del río (analogía con la velocidad de la Tierra con respecto al "éter"), midiendo los tiempos y sabiendo la velocidad de las lanchas (analogía con la velocidad de la luz).

El fundamento del experimento de Michelson y Morley es análogo al problema anterior, pero maneja haces luminosos en lugar de lanchas. Veamos un ejemplo. Una fuente de luz monocromática envía un haz luminoso hacia la lámina semiplateada L, inclinada 45 grados, que transmite el haz 1 (a) hacia el espejo E1, y refleja el haz 2 (b) hacia el espejo E2; cada uno de estos haces se refleja en su correspondiente espejo y retorna por la lámina a la pantalla de observación. Los espejos E1 y E2 están colocados a igual distancia de la lámina, y los haces 1(a) y 2(b) recorren la misma distancia. LE1 = LE2 = d. Este dispositivo es un interferómetro: v es la velocidad de la Tierra con respecto al éter, hoy el espacio semivacío, y con él, Michelson y Morley intentaron medir la velocidad v, velocidad de la Tierra con respecto al éter, conociendo c, velocidad de la luz, aplicando la relatividad galileana. Según esto:

ta = d/(c-v) + d/(c+v) = 2d/c(1-v2/c2)

El haz 2 se propaga con velocidad (c2-v2)^1/2, siendo la duración total de su recorrido

tb = 2d/(c2-v2)^1/2

Por lo tanto, igual que en el ejemplo, los tiempos son distintos. En la pantalla, aparecería una diferencia de fase

dif.de fase = (ta-tb)/T,

siendo T el período de la luz utilizada. Los fenómenos de interferencia que deberían aparecer en la pantalla no se detectaron, ni en el experimento inicial, ni en posteriores experimentos realizados tanto por Michelson como por otros físicos experimentales.

¿Qué había ocurrido?. Para Michelson, su experimento había fallado, y esto lo pensó durante toda su vida. Para la comunidad científica, había llegado el momento de replantearse la relatividad galileana y, por tanto, uno de los pilares básicos sobre los que se asienta la Física clásica.

El resultado negativo del experimento impedía hallar la velocidad de la Tierra con respecto al éter, por lo cual, se abandonó la idea del éter, pues no podía medirse ni siquiera su velocidad aparente, y si no presentaba propiedades medibles, no tenía sentido mantenerlo. Había llegado el momento de sustituir el concepto de éter por el de vacío, lo cual ponía en cuestión las teorías de Maxwell sobre la propagación de las ondas electromagnéticas: no había un soporte para esta propagación, no había partículas que vibrasen y propagasen la perturbación. Por otro lado, como el éter era el reposo absoluto, tuvo que admitirse la inexistencia de un espacio absoluto como sistema de referencia privilegiado para la descripción de las observaciones.

Sin embargo, el resultado negativo del experimento podía justificarse con suma sencillez admitiendo la invariancia de la velocidad de la luz, independientemente de cualquier movimiento de la fuente o del observador: éste fue uno de los dos postulados de la Relatividad Especial.

5.- LOS DOS POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

El experimento de Michelson no había fallado, lo que fallaba era la relatividad galileana. Solo Einstein aclaró el enigma suponiendo que la velocidad de la luz no se podía componer con ninguna otra, era una constante absoluta, mientras que el espacio y el tiempo eran conceptos relativos. La Teoría de la Relatividad Especial se asienta en estos dos postulados:

Primero: las leyes de la naturaleza tienen la misma forma matemática en todos los sistemas de referencia inerciales.

Segundo: la velocidad de la luz es independiente del movimiento de la fuente o del receptor, es la misma para todos los sistemas inerciales.

6.- EL TIEMPO RELATIVO

Supongamos un tren que se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme. Supongamos un vagón, en cuyo suelo hay una linterna que emite un destello, reflejándose en el techo y volviendo nuevamente al suelo.

Para un observador situado en el vagón, el tiempo "propio" del recorrido del destello es

T = 2D/c

siendo D la altura del vagón.

Pero un observador exterior ve las cosas de manera diferente. Para él, el recorrido del destelloaparece como una V invertida, y el tiempo lo calcula por:

t = 2D'/c

A su vez, la linterna, solidaria con el tren, se ha desplazado la distancia vt. Aplicando el Teorema de Pitágoras:

(c t/2)^2 = D^2 + (v t/2)^2

despejando t

t = 2D/ (c2 - v2)^1/2 = 2D/c( 1-v2/c2)^1/2

y teniendo en cuenta que 2D/c = T

t = T/(1 - v2/c2)^1/2

Esto significa que t>T, es decir, que el tiempo para el observador externo es mayor que el tiempo propio, el del observador interno. Para el observador interno, el tiempo transcurre más lentamente. Este fenómeno se denomina dilatación del tiempo de los cuerpos en movimiento.

De la misma forma, llamando l a la longitud de un objeto en movimiento, visto por un observador externo, y siendo L la longitud propia, es decir, la que mediría un observador situado en el objeto, la relación entre ambas es:

l = L(1 - v2/c2)^1/2

Esto significa que l<L, la longitud observada desde el exterior es menor que la propia: es la contracción del espacio de los cuerpos en movimiento.

Las dos fórmulas, deducida la primera de una forma tan simple, pueden deducirse también fácilmente a partir de la llamada transformación de Lorentz, que veremos más adelante.

7.- TRANSFORMACION DE GALILEO

La Relatividad Especial trata primordialmente de los problemas de espacio y tiempo en marcos de referencia en movimiento rectilíneo y uniforme, los denominados sistemas inerciales. Veamos las transformaciones de coordenadas en física clásica, o transformaciones galileanas.

Consideremos dos sistemas inerciales, S y S'. S' se mueve con respecto a S con velocidad constante "v", por lo que SS' = vt. El acontecimiento P, que ocurre en el tiempo "t", tiene las siguientes ecuaciones:

x' = x - v-t; t' = t;

Si P se desplaza con velocidad constante:

V' = V - v

Y si se desplazase con aceleración constante:

a' = a

Todo esto es lógico, pero hay un aspecto en el cual falla la transformación de Galileo: no da la invariancia de c. En el sistema S, si hubiese una emisión de luz,

c = x/t

En S'

c' = x'/t'= (x -v t)/t = c - v

Esto está en contradicción con el resultado experimental de la invariancia de c en cualquier sistema de referencia. Había que modificar las relaciones de Galileo: esto fue hecho por Einstein en 1905.

8.- TRANSFORMACION DE LORENTZ

La intención primaria de la Relatividad consiste en modificar las relaciones galileanas para obtener el mismo valor de c en cualquier sistema inercial. En lugar de la transformación de Galileo,

x' = K (x - v t)

Se halla fácilmente que

K = 1/(1 - v2/c2)^1/2

y con este valor, se obtienen:

x' = (x-v t)/(1 - v2/c2)^1/2 t' = (t -v x/c)/(1 - v2/c2)^1/2

V' = (V -v)/(1 - vV/c2)

Estas ecuaciones constituyen el grupo de transformación de Lorentz, base del desarrollo teórico de la Relatividad Especial. De estas ecuaciones se deducen fácilmente las expresiones de la dilatación del tiempo y la contracción del espacio, ya descritas anteriormente.

9.- MASA RELATIVISTA

En el estudio experimental de las desviaciones de electrones por Campos eléctricos y magnéticos, se encontró que la relación e/m de la carga del electrón a su masa era menor para electrones rápidos que para lentos; este hecho sugirió que la masa de los electrones rápidos es mayor que la de los lentos, según una fórmula tipo:

m = m₀/(1-v2/c2)^1/2

siendo m la masa de un electrón en movimiento y m0 en reposo.

Esta fórmula fue obtenida en la Teoría de la Relatividad, que a la vez haría una revisión profunda del concepto de materia de la Física clásica.

10.- LA FORMULA MAS FAMOSA

Veamos una forma simple de llegar a la fórmula más famosa de la Teoría de la Relatividad E = m c2.

dEc = dW = F ds

= d/dt (mv)ds = v d(m v)

Integrando por partes:

E = m v2 - m v dv = m0 v2/ (1-v2/c2) - m0 v dv/ (1-v2/c2)

Haciendo el cambio de variable v/c = v', queda, finalmente

E = (m-m0) c²

Esta fórmula implica la producción de energía nuclear a partir de los procesos de fusión y fisión, ya que el balance de masas entre los reactivos y los productos da un defecto o pérdida de masa, la cual se transforma en una enorme cantidad de energía, al estar multiplicada por c2.

La masa y la energía no son entes independientes. Una partícula en reposo tiene una energía E0 = m0 c2, y la misma partícula en movimiento, al cambiar de masa, cambia de energía:

E = m c²

11.- CONFIRMACIONES DE LA TEORIA

Las espectaculares predicciones de la Teoría de Einstein fueron difíciles de comprobar experimentalmente, y por ello fue una Teoría controvertida. Hoy día está totalmente aceptada, tanto como lo puede ser la Física clásica de Newton o la Electrodinámica de Maxwell. Las pruebas confirmatorias son definitivas:

a). Comportamiento de partículas: experiencias de Guye y Nacken (1935) que confirman la relatividad de la masa. En cámara de burbuja, las colisiones de partículas lentas siguen la mecánica clásica, pero en las partículas rápidas, las trayectorias sólo se justifican aplicando la mecánica relativista.

b). Mesones atmosféricos. Los mesones mu se forman en lo alto de la atmósfera, por la acción de los rayos cósmicos, a una altura de 10 km. Según la mecánica clásica, hasta desintegrarse, el mesón recorrería 600 m, por lo que no deberían llegar a tierra. Sin embargo, se han detectado estos mesones a nivel terrestre, lo que se explica únicamente aplicando el efecto temporal relativista: los 2 microsegundos de tiempo propio se transforman en 30 microsegundos para el observador terrestre, tiempo suficiente para que alcancen nuestra superficie.

c). Emisor de radiación en movimiento. El desplazamiento al rojo de las líneas del espectro de cuerpos que se alejan, coinciden más con la realidad experimental aplicando física relativista, que predice un mayor aumento de las frecuencia de las líneas de lo que se deduce aplicando mecánica clásica.

d). Partículas aceleradas. En los enormes aceleradores de partículas existentes hoy en día, la relatividad se pone de manifiesto al alcanzar las partículas velocidades próximas a la luz. Se comprueba, por ejemplo, que los muones, mientras en reposo tienen una vida media de 2 millonésimas de segundo, a velocidad de 0,99975 c viven una diezmilésima de segundo, y realizan, por tanto, recorridos mayores de los calculados clásicamente. También se comprueba que en los aceleradores, las partículas que viajan a velocidades próximas a c son mucho más pesadas que cuando se encuentran en reposo.

e).- Velocidad de la luz. La invarianza de c queda demostrada con las experiencias de Sadeh, en el aniquilamiento del par positrón-electrón: los fotones generados llegan al mismo tiempo al contador, independientemente de las direcciones del par. En el CERN también se pone de manifiesto la imposibilidad de acelerar las partículas hasta alcanzar la velocidad de la luz: si se incrementa la energía aceleradora, no se produce un aumento de la velocidad de la partícula, sino un incremento de la masa.

f).- Transformación masa-energía. La relación E = m c2 se cumple directamente en los procesos de fusión y de fisión de las centrales nucleares y de las armas atómicas. El proceso inverso, transformación de energía en masa, también se cumple. Los experimentos de Anderson (1933) confirmaron que al frenar un fotón se origina un par electrón-positrón; para que se produzca este efecto, la energía del fotón debe ser superior, de acuerdo con la relatividad, a 2 m0 c.

g).- Interacción luz-gravitación. La fórmula relativista E = p c predice que la luz tiene cantidad de movimiento y, por tanto, masa; en consecuencia, debe interaccionar con los Campos gravitatorios: la luz debe curvarse al pasar por un Campo gravitatorio. Einstein calculó que la luz de una estrella, pasando rasante por el Sol, experimentaría una desviación de 1,74 segundos de arco. La confirmación experimental se realizó por un grupo de científicos británicos en 1919, en la observación de un eclipse total de Sol desde las islas Príncipe, momento en el cual es apreciable la curvatura de los rayos de un astro situado tras el Sol.

La Teoría de la Relatividad está confirmada, las experiencias avalan la Teoría y se cumplen las expectativas del Método Científico.

La Teoría de la Relatividad, finalmente, no es una elucubración teórica de un físico genial. Es una revolución dentro del mundo de la Ciencia que pone límites a la grandeza de Newton y abre la puerta a infinitas posibilidades. Rindamos culto a Einstein por abrir los ojos a la Física y marcar un nuevo camino por donde transitar en pos de la verdad científica, muy probablemente, la única verdad.