Fenómenos de transporte

Conducción del calor

Conducción del calor (I)

Conducción del calor (II)

Conducción del calor (III)

Medida de la 
conductividad térmica

Ondas térmicas

Simulación de la
conducción

Se conecta la fuente de calor

Se desconecta la fuente de calor

Actividades

En la página anterior, examinamos la distribución de temperaturas de una barra metálica en un determinado instante t, cuando se proporcionan los datos de:

• El metal con el que está hecha la barra, o el valor del parámetro α=K/(ρc)

• La temperatura inicial de la barra en el instante t=0.

• Las temperaturas fijas en los extremos

En esta página, vamos a fijarnos en la evolución temporal de la temperatura de un punto x de la barra metálica y a examinar el papel que juegan la capacidad calorífica y la conductividad térmica en la conducción del calor.

El extremo libre de una barra metálica de longitud L, está a una temperatura fija T₀, por ejemplo, la de un baño que contenga una mezcla de hielo y agua. En el otro extremo, hay una fuente de calor de potencia dQ/dt watios. En un punto x de la barra se coloca un termómetro. Cuando se conecta la fuente de calor, observamos como la temperatura en dicho punto, va creciendo hasta que toma un valor constante T después de cierto tiempo, teóricamente infinito. Se ha establecido el estado estacionario.

Retiramos la fuente de calor, los dos extremos de la barra x=0, y x=L están a la temperatura fija T₀ del baño. Observamos como la temperatura de dicho punto de la barra va descendiendo hasta que alcanza la temperatura T₀ de baño al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.

El estado estacionario

La ecuación diferencial que describe la conducción térmica

• ρ es la densidad

• c es el calor específico

• K es la conductividad térmica

En el estado estacionario la temperatura de los puntos de la barra no cambia con el tiempo, ∂T/∂t=0, ∂T/∂x es constante, de acuerdo a la ley de Fourier

El signo menos indica que la temperatura disminuye a lo largo de la barra: el foco caliente está en x=0, y el foco frío en x=L.

• S es el área de la sección trasversal de la barra 

• dQ/dt es la potencia de la fuente de calor colocada en uno de los extremos de la barra.

• K una constante característica del material denominada conductividad térmica.

En el estado estacionario t→∞

Conociendo la potencia de la fuente de calor, la temperatura fija T₀ del extremo x=L y la temperatura T de dicho punto x de la barra podemos determinar el coeficiente K de conductividad térmica.

Ejemplo:

• La potencia de la fuente de calor colocada en un extremo  de la barra es 4.0 W

• El otro extremo de la barra, se mantiene a la temperatura de un baño consistente en una mezcla de hielo y agua T₀=0 ºC

• La barra metálica es un cilindro de L=25 cm de longitud y r=5 mm de radio

El termómetro se coloca en la posición x=3 cm, y mide una temperatura máxima de T=53.6 ºC un tiempo suficientemente grande después de haber conectado la fuente de calor.

Se conecta la fuente de calor

El régimen variable general de temperaturas de la barra es la suma del estado estacionario más el estado transitorio, cuya expresión dedujimos en la página anterior para una barra con temperaturas fijas T_a y T_b en los extremos.

Solamente, queda por determinar los coeficientes k_n, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(x, 0)=T₀ en el instante t=0.

Haciendo el cambio de variable z=πx/L, la función f(z) se escribe

Calculamos los coeficientes a_n.

Así, la temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.

En la figura, se representa la temperatura de un punto x de la barra en función del tiempo t, después de haber conectado la fuente de calor en el instante t=0. Alcanza una temperatura T_máx después de un tiempo teóricamente infinito.

Se desconecta la fuente de calor

Ponemos el reloj a cero, t=0.

El estado estacionario se alcanza después de un tiempo infinito. Todos los puntos de la barra tienen la misma temperatura del baño T(x, ∞)=T₀.

El régimen variable general de temperaturas de la barra es la suma del estado estacionario más el estado transitorio

Solamente, queda por determinar los coeficientes a_n, identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra

en el instante t=0.

Haciendo el cambio de variable z=πx/L, la función f(z) se escribe

Calculamos los coeficientes k_n.

Así, la temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x, y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.

En la figura se muestra, cómo la temperatura de el mismo punto x de la barra, estudiado en el apartado anterior, va disminuyendo con el tiempo hasta que alcanza la temperatura del baño térmico T₀.

Actividades:

Se introduce

• La potencia de la fuente de calor en W, actuando en la barra de desplazamiento titulada Potencia

• La conductividad térmica K, en W/(m·K), en el control de edición titulado Conductividad

• El calor específico c en J/(kg·K), en el control de edición titulado Calor esp.

• La densidad del material se ha fijado en ρ=5000 kg/m³

• La longitud de la barra se ha fijado en L=25 cm

• El radio de la sección trasversal se ha fijado en r=5 mm

• La temperatura del otro extremo de la barra se ha fijado en T₀=0ºC

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

• Se desplaza el termómetro, arrastrándolo con el puntero del ratón a cualquier posición 2<x<22 cm de la barra.

• Se establece la escala horizontal del eje de tiempos, en el control de selección titulado Escala t.

Se pulsa el botón titulado Conecta.

Observamos como la temperatura del termómetro se incrementa.

Si se activa la casilla titulada Gráfica, se obtiene la representación gráfica de la temperatura que marca el termómetro en función del tiempo.

Cuando la temperatura alcance aproximadamente, su valor máximo constante (estado estacionario), se pulsa el mismo botón titulado ahora, Desconecta.

La temperatura del termómetro va disminuyendo rápidamente, hasta que alcanza el valor de la temperatura del baño T₀=0 ºC.

Se sugiere al lector que

• Cambie la posición del termómetro en la barra manteniendo fijas la conductividad K y el calor específico c.

• Modifique la potencia de la fuente y anote la temperatura máxima que marca el termómetro en el estado estacionario.

• Manteniendo fija la potencia y la posición del termómetro, cambie el calor específico c manteniendo fijo el valor de la conductividad térmica K.

• Manteniendo fija la potencia y la posición del termómetro, cambie la conductividad térmica K manteniendo fijo el valor del calor específico c.