Dinámica

Movimiento circular

Movimiento circular

Estabilidad de un 
vehículo.

El regulador centrífugo

Superficie de un líquido
en rotación

Gravedad artificial

“Caída” de los cuerpos

Lanzamiento de un cuerpo hacia "arriba"

Referencias

En esta página, se estudia la gravedad artificial creada en una nave espacial de forma cilíndrica que viaja por el espacio exterior, cuando describe un movimiento de rotación con velocidad angular constante alrededor de su eje de simetría.

Determinaremos la trayectoria

• de un cuerpo que se deja “caer” desde una altura h sobre el “suelo”.

• de un cuerpo que se lanza hacia "arriba"

La aceleración de la gravedad

Una nave espacial de radio R describe un movimiento de rotación alrededor de su eje con velocidad angular constante ω.  Un objeto de masa m situado en la pared de la nave experimenta una fuerza centrípeta F=mω2R

La aceleración de la gravedad artificial es la fuerza por unidad de masa en dicho punto.

a=F/m=ω²R

Un astronauta de altura h experimenta distintas aceleraciones, ya que la cabeza está más cerca del eje de rotación que los pies. La aceleración de la cabeza es ac= ω2(R-h) La aceleración de los pies es ap= ω2R

El cociente entre ambas aceleraciones es

Para que el astronauta no note la diferencia de aceleraciones a lo largo de su cuerpo, a_p y a_c deben de ser casi iguales. Por ejemplo, si a_c=0.99·a_p, para un astronauta de que mida h=2 m, el radio R de la nave deberá ser de 200 m.

“Caída” de los cuerpos

Los cuerpos “caen” de forma distinta en la nave espacial en rotación que en la superficie de la Tierra.

Supongamos que un cuerpo se libera a una altura h o bien, a una distancia r=R-h del eje de rotación. La posición inicial del objeto en el Sistema de Referencia Inercial OXY es

x₀=r
y₀=0

El cuerpo se mueve en línea recta con velocidad constante ω·r, en la dirección tangente a la circunferencia que describe, tal como se muestra en la figura. Las sucesivas posiciones del cuerpo son

x= r
y=ω·r·t

El cuerpo choca con la pared de la nave en el instante en el que se cumple que

x²+y²=R²

Despejamos el tiempo t que tarda en llegar el cuerpo al “suelo”

La posición angular del cuerpo cuando llega al “suelo” es θ_c=arctan(y/x)=arctan(ωt)

Mientras el cuerpo se mueve, el astronauta en reposo sobre la nave, gira. Su posición angular en el instante t es

Ambas posiciones no coinciden, la diferencia es

Ejemplo

• ω=5rpm=5·2·π/60= π/6 rad/s

• h=2 m

• R=10 m.

El tiempo que tarda en llegar el cuerpo al “suelo” es

La diferencia entre las posiciones angulares del astronauta y del cuerpo es

El lector puede probar a acertar, cuál deberá ser la altura h del objeto, para que éste caiga a los pies del astronauta, es decir Δθ=2π.

Actividades

Se introduce

• La velocidad angular de rotación ω, en rpm (revoluciones por minuto), actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad angular.

• El radio de la nave espacial se ha fijado en R=10 m

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Con el puntero del ratón se arrastra el pequeño círculo de color rojo, para establecer la altura h del cuerpo sobre el “suelo”.

El astronauta se representa por un segmento de color azul que está en reposo sobre la nave, por tanto, gira con la misma velocidad angular ω.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El cuerpo se deja “caer” desde la altura h, describiendo un movimiento rectilíneo uniforme hasta que choca con el “suelo”.

Un cuerpo se lanza hacia "arriba" desde el “suelo” de la nave espacial en movimiento de rotación

Sea una nave cilíndrica de radio R, que gira alrededor de su eje con velocidad angular constante ω.

Sistema de Referencia de la Nave espacial Se lanza un objeto mediante un dispositivo situado en el “suelo” de la nave con una velocidad vp haciendo un ángulo φ con la dirección radial tal como se muestra en la figura. Este objeto puede ser una pelota que lanza un astronauta desde el “suelo” de la nave espacial.

Sistema de Referencia Inercial

Desde el punto de vista del observador inercial, la velocidad del objeto v es la suma vectorial v=v_p+v_n  donde v_n es la velocidad del dispositivo, cuya dirección es tangencial y cuyo módulo es v_n=ωR

El módulo v del vector resultante y el ángulo β que forma con la dirección radial Y es

El objeto es lanzado desde la posición x0, y0 en el instante t=0 x0=R·cosθ y0=R·senθ describe un movimiento rectilíneo y uniforme. x= R·cosθ-v·cos(θ+β)·t y= R·senθ-v·sen(θ+β)·t

La trayectoria es la cuerda que une el punto de lanzamiento (x₀, y₀) y el punto (x, y) de impacto en el “suelo” de la nave espacial. El punto de lanzamiento, el centro de la circunferencia y el punto de impacto, forman un triángulo isósceles. La distancia entre el punto de lanzamiento y de impacto es 2Rcosβ, y el tiempo  t de vuelo es

Tirando hacia "arriba" en dirección radial

Sistema de Referencia Inercial

Cuando el objeto sigue la dirección radial β=0 (hacia “arriba”) es posible que impacte en el dispositivo que lo lanzó. Por ejemplo, si un astronauta lanza una pelota hacia “arriba”, es posible que el mismo astronauta la recoja con la mano.

Para ello, se tiene que cumplir que el tiempo que tarda el objeto en atravesar la nave espacial t=2R/v sea igual al tiempo que emplea el dispositivo lanzador en girar π radianes ó180º t=π/ω

El objeto deberá atravesar la nave espacial en dirección radial, con una velocidad v dada por

v=2Rω/π

Sistema de Referencia de la Nave espacial

El ángulo de tiro φ, medido respecto de la dirección radial y la velocidad vp con la que se tiene que lanzar el objeto, se calculan resolviendo el triángulo rectángulo de la figura.

En general, para que el objeto impacte en el dispositivo lanzador, el tiempo que tarda el objeto en atravesar la nave espacial t=2R/v deberá ser igual al tiempo que tarda el dispositivo en girar 1½, 2½,… n+½ vueltas

El ángulo de tiro y la velocidad de lanzamiento del objeto v_p serán

A medida que n aumenta, φ se aproxima a π/2, y v tiende a cero. El objeto permanecerá en reposo para un observador inercial. Por ejemplo, el astronauta se encontrará con la pelota después de dar una vuelta completa.

Ejemplo:

• Radio de la nave espacial R=10 m

• Velocidad angular de giro ω=1 rad/s

1. Cuando el dispositivo lanzador gira n=0, media vuelta después de haber lanzado el objeto.

El ángulo de tiro ya se ha calculado, φ=57.5º

1. Cuando n=1, el dispositivo lanzador gira vuelta y media después de haber lanzado el objeto.

Tiro oblicuo

Sistema de Referencia Inercial

Como vemos en la figura, para que el objeto impacte en el dispositivo lanzador, se tiene que cumplir que el tiempo que invierte el objeto en recorrer la cuerda que une el punto de lanzamiento y de impacto sea igual al que invierte el lanzador en recorrer el arco de ángulo π+2β.

o bien, en general

Sistema de Referencia de la Nave espacial

La velocidad de lanzamiento vp y el ángulo de tiro φ medido respecto de la dirección radial se calculan hallando la diferencia de vectores vp=v-vn

Ejemplo:

• Lanzamiento respecto al Sistema de Referencia Inercial

Sea β=30º

Para que el objeto impacte en el dispositivo lanzador al completar algo más de media vuelta n=0, la velocidad v deberá ser

• Lanzamiento respecto del Sistema de Referencia de la Nave espacial

Actividades

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se introduce

• La velocidad de lanzamiento v_p del objeto desde el "suelo" de la nave espacial, actuando en la barra de desplazamiento o en el control de edición titulado Velocidad.

• El ángulo φ que forma la dirección de dicha velocidad con la dirección "vertical" (o radial) actuando en la barra de desplazamiento o en el control de edición titulado Ángulo

• El radio R de la nave espacial se ha fijado en R=10 m

• La velocidad angular de rotación se ha fijado en ω=1 rad/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

• El dispositivo lanzador, se representa mediante un pequeño círculo de color azul

• El objeto lanzado, se representa mediante un círculo más pequeño de color rojo.

Se observa el movimiento del objeto lanzado, y se representa la trayectoria rectilínea que sigue, mientras atraviesa la nave, hasta que impacta en el "suelo"

Fijada la velocidad de lanzamiento v_p, cambiaremos el ángulo de tiro φ hasta conseguir que el objeto impacte en el dispositivo lanzador.