Electromagnetismo |
Condensadores Condensador plano- paralelo Modelo eléctrico de un ciclo de Carnot Condensador cilíndrico Condensador con un dieléctrico. Fuerza sobre un dieléctrico (I)
Carga y descarga de un condensador Medida de la velocidad de una bala Agrupación de condensadores |
 Fuerza sobre un
dieléctrico
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Fuerza sobre un dieléctricoUn trozo de material dieléctrico que se acerca a una región donde hay un campo eléctrico no uniforme experimenta una fuerza de atracción hacia la zona donde el campo eléctrico es más intenso. Para observar de forma directa la fuerza sobre el dieléctrico se diseña el siguiente “experimento”:
El portaobjetos de vidrio tiene un espesor t=1 mm, una altura de a=7.5 cm, una masa de m=4.37 g, y una constante dieléctrica k=5. El portaobjetos está sujeto por una larga cuerda de modo que la distancia entre su centro y el punto de suspensión es de l=1.34 m. En la experiencia real (véase el artículo citado en las referencias), la fuente suministra una diferencia de potencial alterna, debido a que con corriente continua las superficies del portaobjetos se polarizan y se pegan inmediatamente a una u otra placa del condensador. Campo eléctrico Supondremos que el campo eléctrico en el interior del condensador plano-paralelo vacío E0=V/d es constante y perpendicular a las placas, y es despreciable fuera del condensador.
Cuando el dieléctrico se ha introducido una distancia x entre las placas del condensador, el campo en la región rectangular de dimensión a de alto y x de ancho cambia.
En la figura, se representa el campo eléctrico en dicha región en función de la distancia z a una de las placas. En el interior del dieléctrico, el campo se reduce a E/k, (k es la constante dieléctrica del material) y fuera del dieléctrico el campo es E. La suma de las áreas de los dos rectángulos es la diferencia de potencial constante V. V=(E/k)t+E(d-t)
Energía electrostática Para hallar la energía electrostática dividimos el volumen del condensador en tres zonas.
La región de área ax y espesor d, está dividida en dos partes:
La energía electrostática total U es la suma de las tres contribuciones U=U1+U2+U3. Fuerza sobre el dieléctrico Como la diferencia de potencial V se mantiene constante mientras se introduce el dieléctrico en el condensador. La fuerza sobre el portaobjetos es
Equilibrio del portaobjetos
T·senθ=F El desplazamiento x del portaobjetos es
Como la distancia entre le centro del portaobjetos y el punto de suspensión l es muy grande comparado con el desplazamiento x del portaobjetos, el ángulo θ es pequeño, senθ≈tanθ
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Conectar Se observa el desplazamiento x del portaobjetos hacia el interior del condensador, y se mide en la escala graduada en cm. Datos que se mantienen fijos en el programa interactivo son:
Cuando V=2000 V
El ángulo θ de desviación de la cuerda de su posición inicial es
La desviación x es x=l·senθ=134·sen0.59º=1.38 cm
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Un oscilador eléctricoSupongamos un condensador plano-paralelo cargado con carga Q mediante una batería y a continuación se desconectan las placas. Las dimensiones del condensador son a y b, y d es la separación entre las placas.
La capacidad del condensador vacío es
La energía almacenada en el condensador es
Supongamos que el dieléctrico ha penetrado una longitud x<a en el condensador inicialmente vacío. Para hallar la capacidad del condensador con dieléctrico podemos considerar el condensador como la agrupación de dos condensadores en paralelo, uno con dieléctrico de longitud x, y otro en el vacío de longitud a-x. Tenemos que la capacidad total de la agrupación es la suma de las capacidades de cada uno de los condensadores planos-paralelos.
La energía U del condensador es una función de x.
La energía disminuye a medida que x aumenta. La energía mínima se obtiene cuando todo el dieléctrico x=a, ocupa el espacio entre las placas del condensador. Carga constanteLa fuerza se obtiene derivando la energía U, manteniendo la carga constante (el condensador no está conectado a la batería)
La fuerza actúa en el sentido en el que tiende a disminuir la energía U almacenada en el sistema En la tabla se resume los valores de la capacidad C, energía electrostática U, y fuerza F sobre el dieléctrico para distintas posiciones x.
Como podemos apreciar la capacidad C es simétrica respecto de x=a. El valor de la capacidad C, de la energía electrostática U y el módulo de la fuerza F es el mismo para x=a-δ, y para x=a+δ. Como podemos ver en las gráficas arriba de la capacidad y más abajo de la energía U y de la fuerza F.
DiscusiónEn la posición x=a, la energía potencial presenta un mínimo. La derivada debería de ser cero. Sin embargo, la fuerza F en x=a no da cero
Esta discrepancia se debe a que la energía potencial U es discontinua en x=a y por tanto, la función energía potencial U no es diferenciable en este punto. En realidad, la energía potencial U es continua, ya que en nuestro modelo simplificado no se han tenido en cuenta el campo eléctrico existente fuera del condensador y su contribución a la energía potencial eléctrica.
El cálculo que hemos realizado, tal como se presenta en la mayoría de los libros de texto, ignora el origen físico de la fuerza de atracción sobre el dieléctrico. ¿Cómo puede atraer el campo eléctrico de un condensador al dieléctrico, si el campo eléctrico es perpendicular a las placas y solamente existe en la región situada entre las mismas?, tal como se muestra en la figura de la izquierda
La fuerza sobre el dieléctrico es debida al campo existente fuera del dieléctrico Así, consideremos dos moléculas del dieléctrico, polarizadas por el campo existente fuera del condensador y dispuestas simétricamente, como se muestra en la figura de la derecha. Las fuerzas sobre cada una de las dos cargas de una molécula son tangentes a la línea de fuerza en el punto en la que está situadas las cargas y son opuestas pero no son completamente colineales y por tanto, existe una fuerza resultante sobre cada molécula que representamos por F1 y F2. La fuerza neta sobre el par de moléculas F1+F2 está dirigida hacia la derecha. La fuerza sobre el dieléctrico es la suma de las fuerzas que ejerce el campo eléctrico sobre todos los pares de moléculas.
ActividadesUna pieza de material dieléctrico es atraída hacia el interior del condensador, su energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética. Alcanza la máxima velocidad cuando ocupa todo el espacio entre las placas y luego, comienza a salir, su energía cinética se convierte en potencial eléctrica y así sucesivamente. Tenemos un oscilador, pero no es un oscilador armónico, ya que no describe un MAS, la fuerza no es proporcional al desplazamiento x. Elegimos una sustancia dieléctrica en una lista de sustancias:
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de la pieza dieléctrica entre las placas del condensador. Se muestra mediante un vector la fuerza sobre la pieza y su energía potencial eléctrica para cada posición x del dieléctrico. Ejemplo: En la parte izquierda del applet, se muestra el condensador, conectado a un voltímetro. La carga Q no cambia, pero al introducirse el dieléctrico la capacidad se modifica.
En el programa interactivo, la longitud del condensador se ha fijado en a=10, y Q/C0=1 se ha tomado igual a la unidad. Por ejemplo, eligiendo el ámbar como sustancia dieléctrica k=2.8 y para x=2, el potencial vale
Para x=20-2=18, el potencial V tiene el mismo valor que para x=2. El potencial es mínimo V=0.36, para x=10. |
Potencial constanteCuando el potencial se mantiene constante la energía del condensador es
La razón por la que se incrementa la energía es doble: 1. Cuando se incrementa la capacidad la carga también se incrementa, la batería realiza un trabajo 2. El dieléctrico experimenta una polarización adicional Cuando el dieléctrico sale, parte de la energía almacenada se envía a la batería, perdiendo parte de la carga que había adquirido
En ambos casos el dieléctrico es empujado hacia la región entre las placas del condensador. La fuerza F se obtiene
El signo positivo, para 0<x<a y el negativo para a<x<2a tal como podemos ver en la figura. La carga Q de las placas del condensador cambia, aumenta cuando se introduce el dieléctrico en el condensador, y disminuye cuando sale del mismo.
La carga del condensador es máxima Q=k·C0V cuando x=a, el dieléctrico está completamente introducido en el condensador, y es mínima cuando x=0, Q=C0V, el dieléctrico está fuera del condensador.
Fijémonos en el signo de la intensidad i.
ActividadesEn este caso, el condensador no está aislado, sino que está conectado a una batería. La diferencia de potencial entre las placas V se mantiene constante, pero cambia la carga Q de las placas del condensador. A medida que se introduce el dieléctrico en condensador la energía electrostática U aumenta en vez de disminuir. La batería aporta la energía necesaria que luego, recupera cuando el dieléctrico sale del condensador. Tenemos un oscilador, pero no es un oscilador armónico, ya que no describe un MAS, la fuerza no es proporcional al desplazamiento x, es de módulo constante pero cambia de sentido.
Se pulsa el botón titulado Empieza Ejemplo: En el programa interactivo, la longitud del condensador se ha fijado en a=10, y U0=1 se ha tomado igual a la unidad. Por ejemplo, eligiendo el ámbar como sustancia dieléctrica k=2.8, la fuerza de atracción F vale F=(2.8-1)/10=0.18 Suponiendo que la masa de la pieza dieléctrica es la unidad m=1, el tiempo que tarda en introducirse completamente en el condensador es 10=0.18·t2/2, t=10.5 El tiempo que tarda en completar una oscilación es 4·t=42.2 unidades de tiempo. |
Benenson R. E. Direct observation of the force on a dielectric. Am. J. Phys. 59 (8) August 1991, pp. 763-764
Carnero C., Carretero J. A study on the physical behaviour of a dielectric slab inserted into a parallel-plate capacitor. Eur. J. Phys. 17 (1996) 220-225.
Fuerza sobre un
dieléctrico (II)
