Oscilaciones |
Osciladores (I) Oscilaciones libres
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| En esta página, estudiamos las oscilaciones amortiguadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k que experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Como aplicación práctica describimos un modelo simplificado que explica la deformación de un balón cuando choca contra una pared rígida.
Oscilaciones amortiguadasLa experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.
Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-lv, donde l es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta. La ecuación del movimiento se escribe ma=-kx-λv Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.
La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión
La características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:
Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Condiciones iniciales La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j . Para t=0, x0=A·senj En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos de x0 y v0
Ejemplo: Sea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ω0=100 rad/s, y cuya constante de amortiguamiento γ=7.0 s-1. Sabiendo que la partícula parte de la posición x0=5 con velocidad inicial nula, v0=0, escribir la ecuación de la oscilación amortiguada. La frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es
5=A·senj La ecuación de la oscilación amortiguada es x=5.01·exp(-7t)·sen(99.75t+1.5) Como vemos la amplitud A no es 5 ni la fase inicial φ es π/2, como en las oscilaciones libres Posiciones de retornoLas posiciones de máximo desplazamiento, son aquellas en las que la velocidad del móvil es cero. En la expresión de la velocidad ponemos v=0 y despejamos el argumento ωt+φ tan(ωt+φ)=ω/γ
Las posiciones de los puntos de retorno son
Si el móvil parte de la posición x0 con velocidad v0=0, la fase vale tanφ=ω/γ, y A=x0/senφ
Ejemplo: Las sucesivas posiciones de los puntos de retorno para ω0=100 rad/s, γ=7.0 s-1 del ejemplo del apartado anterior son: t0=0,
x0=5 y así, sucesivamente. La energía del oscilador amortiguadoLa energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial del muelle elástico deformado.
Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t.
Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, como hemos visto en el ejemplo del apartado anterior ω0≈ω
La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación debida al segundo término entre paréntesis, tal como apreciamos en la figura
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Probar con los siguientes valores de la constante de amortiguamiento g : 5 (amortiguadas), 100 (críticas), 110 (sobreamortiguadas).
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Un modelo para el coeficiente de restitución.
La ecuación del movimiento del c.m., es ma=-kx-λv o bien
Esta es la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas, donde w02=k/m es la frecuencia propia o natural del sistema oscilante y g =l/(2m) es la constante de amortiguamiento. Existen tres posibles soluciones de la ecuación diferencial, de acuerdo con las raíces de la ecuación característica.
Oscilaciones amortiguadas (g<w0)
Las condiciones iniciales determinan los valores de la amplitud inicial A y de la fase inicial f. En nuestro caso son: t=0, x=0, y v=v0.
Esta ecuación nos da la posición y velocidad del c.m. del balón deformado en función del tiempo.
Se define el coeficiente de restitución e como el cociente entre la velocidad final v tras el choque entre la velocidad inicial v0 justamente antes del choque con la pared. Podemos comprobar, que el coeficiente de restitución depende de dos parámetros que describen nuestro modelo simplificado, la frecuencia de la oscilación amortiguada y la constante de amortiguamiento. Como podemos apreciar, si la constante de amortiguamiento es cero, g=0, no hay rozamiento interno entre las diversas partes del balón, no hay pérdidas de energía, el choque es perfectamente elástico, y e=1.
Oscilación crítica (g=w0)La solución de la ecuación diferencial es
Con las condiciones iniciales antes mencionadas: t=0, x=0, v=v0. se transforma en
El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el coeficiente de restitución es cero, e=0.
Oscilación sobreamortiguada (g>w0)La solución de la ecuación diferencial es
Con las condiciones iniciales antes mencionadas se transforma en
El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el coeficiente de restitución es cero, e=0.
ActividadesFijaremos la frecuencia propia w0 en el valor 100, permitiéndonos variar, la constante de amortiguamiento g en el intervalo de 0 (choques elásticos) a 150. Oscilaciones amortiguadas Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza
Oscilaciones críticas y sobreamortiguadas
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Oscilaciones
amortiguadas
