Dinámica

Movimiento en el 
seno de un fluido

Fórmula de Stokes

Medida de la viscosidad
de un fluido (I)

Medida de la viscosidad
de un fluido (II)

Descenso de un
paracaidista

Movimiento vertical de
una esfera en un fluido

Tiro parabólico con
rozamiento.

Modelo unidimensional
movimiento en un fluido.

Actividades

En esta página, se describe el movimiento vertical de una esfera de masa m y de radio R, en el seno de un fluido viscoso, en régimen laminar.

Descripción

La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está completamente sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en régimen laminar).

El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el producto de la densidad del material ρ_e por el volumen de la esfera de radio R.

De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido ρ_f, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresión se denomina ley de Stokes donde h es la viscosidad del fluido. La ecuación del movimiento será, por tanto,

La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

Despejamos la velocidad límite v_l

La ecuación del movimiento es

donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E, y k=6πRh

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en función del tiempo.

Obtenemos

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=vl.

Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener  la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen x=0, en el instante inicial t=0.

se obtiene

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo, vemos que al cabo de un cierto tiempo, el desplazamiento x del móvil será proporcional al tiempo t.

Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro

Actividades

• Se elige el material de la esfera, en el control de selección titulado Esfera
• El radio en mm de la esfera
• Se elige el fluido, en el control de selección titulado Fluido

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pueden introducir en los controles de edición, otros valores distintos de los que figuran en las tablas

 

Material de la esfera	Densidad (g/cm3)
Hierro	7.88
Aluminio	2.70
Cobre	8.93
Plomo	11.35
Volframio	19.34

 

Fluido	Densidad (g/cm3)	Viscosidad (kg/m·s)
Agua	1.0	0.00105
Glicerina	1.26	1.3923
Benceno	0.88	0.000673
Aceite	0.88	0.391

Para determinar la dependencia de la velocidad límite con el radio de la esfera, con la densidad del material, con la densidad y viscosidad del fluido:

1. Elegir esferas de distinto radio, del mismo material y que se muevan en el mismo fluido.
   
2. Elegir esferas del mismo radio pero de distinto material, y que se muevan en el mismo fluido.
   
3. Cambiar el fluido en el que se mueven las esferas, manteniendo sus dimensiones y su material constitutivo.

El círculo de color rojo representa la esfera que cae en el seno de un fluido viscoso. Al lado se representa las fuerzas sobre la esfera.

• En color rojo, la fuerza F constante que es la diferencia entre el peso y el empuje del fluido.
• En color azul, la fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad kv.

Cuando ambas flechas son aproximadamente iguales, la velocidad de la esfera es constante e igual a la velocidad límite.

Ejemplo:

En un tubo vertical lleno de aceite de automóvil dejamos caer perdigones de plomo. El diámetro del tubo es mucho mayor que el diámetro del perdigón. Los datos son Densidad del plomo ρe=11.35 g/cm3 Radio de la esfera R=1.96 mm Densidad del aceite ρf=0.88 g/cm3 Viscosidad del aceite η=0.391 kg/(m·s)

Se alcanza el 99.5% de la velocidad límite constante en el instante t tal que

Donde k=6πRη=0.014, y la masa de la esfera es m=ρ_e4/3πR³=3.58·10^-4 kg

Despejamos el tiempo t=0.13 s

La esfera se habrá desplazado en este tiempo x=0.023 m

Si dejamos caer la bolita desde la superficie del aceite, podemos comenzar a tomar medidas con seguridad 3 centímetros por debajo de dicha superficie.

En este ejemplo, se ha supuesto que el fluido se mantiene en régimen laminar cuando se mueve la esfera en su seno. Veremos más adelante, que la fórmula de Stokes tiene un rango de validez que se expresa en términos del denominado número de Reynolds.