Tiro parabólico con rozamiento

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Dinámica

Movimiento en el 
seno de un fluido
Fórmula de Stokes.
Medida de la viscosidad
de un fluido (I)
Medida de la viscosidad
de un fluido (II)
Descenso de un
paracaidista
Movimiento vertical de
una esfera en un fluido
marca.gif (847 bytes)Tiro parabólico con
  rozamiento.
Modelo unidimensional
movimiento en un fluido.
java.gif (886 bytes)Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

java.gif (886 bytes)Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Referencias

 

En la página anterior "Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido" hemos estudiado el movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba en un medio que opone resistencia a su movimiento y lo comparamos con el movimiento del mismo cuerpo en el vacío.

Aplicamos dos modelos de fuerza para describir la resistencia que opone el medio al movimiento del cuerpo.

  • Una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, para bajos valores del número de Reynolds
  • Una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad para altos números de Reynolds.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 pero con ángulos de tiro q distintos.

Como hemos visto en la página "Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad" el proyectil disparado en el vacío con un ángulo de q =45º tiene un alcance máximo. Vamos a comprobar si esta afirmación se mantiene cuando el proyectil (por ejemplo, una pelota de golf) se mueve en un medio como el aire.

 

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:

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  • El peso mg
  • La fuerza de rozamiento Fr, que es sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). Fr=-mbv.

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales t=0, vx=v0x, vy=v0y, son

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos

Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro q . Las velocidades iniciales son

v0x=v0·cosq
v0y=v0·senq

Alcance del proyectil

El proyectil llega al suelo y=0, a una distancia x=R del origen. R se denomina alcance del proyectil.

En la primera ecuación ponemos x=R y despejamos t, sustituyéndola en la segunda ecuación con y=0.

El siguiente programa interactivo, calcula el alcance R, resolviendo la ecuación trascendente por el método del punto medio.

Se introduce

  • El valor del parámetro b

  • La velocidad inicial de disparo v0

  • El ángulo de tiro θ

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Cuando hay rozamiento, el alcance máximo no se obtiene para 45º, sino para un ángulo ligeramente inferior. Calcular el alcance para 45º, 44º, 43º...

Aproximaciones

Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-bR/v0x) se puede desarrollar en serie hasta potencias de tercer orden en b.

 

Haciendo algunas operaciones obtenemos la ecuación de segundo grado en R

Donde R0 es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire.

Ejemplo: Sea v0=60 m/s. y θ=45º

Cuando no se considera rozamiento el alcance es

Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.3 m

 

Actividades

Se introduce:

  • El valor del parámetro b en unidades s-1, el control de edición titulado c/m
  • La velocidad inicial v0 en el control de edición titulado Velocidad inicial.
Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo traza las trayectorias y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo)

Compara estas trayectorias con la que seguiría el mismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).

En la parte superior derecha del applet, se muestra el alcance de cada uno de los proyectiles. Podemos observar que el máximo alcance no se obtiene para el ángulo de disparo de 45º sino para un ángulo inferior. Y como cabía esperar, el alcance del proyectil disparado con 45º es inferior en un medio como el aire que en el vacío.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                 
 

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son como hemos visto ya

  • El peso mg
  • La fuerza de rozamiento Fr, que es de sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). Fr=-bmv·v.

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

Este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas se resuelven aplicando procedimientos numéricos, por ejemplo, el método de Runge-Kutta.

Las condiciones iniciales son las misma que en la sección anterior t=0, v0x=v0·cosq , v0y=v0·senq , x=0, y=0

 

Actividades

En el applet introducimos:

  • El valor del parámetro b en unidades m-1, en el control de edición titulado c/m
  • La velocidad inicial v0 en el control de edición titulado Velocidad inicial.
Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo traza y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo).

Compara estas trayectorias con la que seguiría el mismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).

En la parte superior derecha del applet, se muestra el alcance (aproximado) de cada uno de los proyectiles. Podemos observar que el máximo alcance del proyectil no se obtiene para el ángulo de disparo de 45º sino para un ángulo inferior. Y como cabía esperar, el alcance del proyectil disparado con 45º es inferior en un medio como el aire que en el vacío.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Erlichson H. Maximum projectile range with drag and lift, with particular application to golf. Am. J. Phys. 51 (4) April 1983, pp. 357-362.

Para el apartado "Alcance del proyectil"

Warburton R. D. H. , Wang J., Analysis of asymptotic projectile motion with air resistance using Lambert W function. Am. J. Phys. 72 (11) November 2004, pp. 1404-1407