Sólido rígido

Conservación del
momento angular

Discos que se
acoplan (I)

Discos que se
acoplan (II)

Conservación del 
momento angular

Giros del patinador de
hielo

Analogía con choque
frontal elástico

Péndulo balístico (II)

Caja que puede
volcar

Choque inelástico
bala-disco en rotación

Transferencia de la 
velocidad en un choque

Conservación 
m. lineal y m. angular

Choque disco-pared

Choque disco-disco (I)

Choque disco-disco (II)

Conservación del momento lineal y del momento angular en una mesa de aire

Choque de una pelota con un bate de béisbol

Referencias

En esta página, se describen dos sistemas aislados en el que se conserva simultáneamente el momento lineal y del momento angular.

• En el primero, se dispara una bala que queda alojada en un disco situado sobre una mesa de aire.

• En el segundo, se analiza la colisión de una pelota con una bate en una primera aproximación.

Conservación del momento lineal y del momento angular en una mesa de aire

Se coloca un disco en una mesa de aire. Se dispara un proyectil con una pistola de aire comprimido que queda alojado en el disco, tal como se muestra en las figuras.

• Cuando el proyectil se aloja en el centro del disco, su centro se desplaza con velocidad V_c. Parte del momento lineal de la bala se transfiere al disco.

• Cuando el proyectil queda alojado en el diámetro del disco a una distancia x de su centro, el centro del disco se mueve con la misma velocidad V_c pero observamos, que el disco gira con velocidad angular ω, alrededor de un eje perpendicular al disco que pasa por su centro. Hay una transferencia de momento angular desde la bala hacia el disco.

El sistema formado por la bala y el disco es aislado, la resultante de las fuerzas exteriores es cero, por lo que se verifica simultáneamente el principios de conservación del momento lineal y del momento angular.

• La velocidad de traslación V_c del centro del disco se calcula aplicando el principio de conservación del momento lineal.

mu=(M+m)V_c 

• La velocidad angular de rotación del disco ω se calcula aplicando el principio de conservación del momento angular

mu·x=(I_c+m·x²)ω

• La energía perdida en la colisión Q es la diferencia entre las energías cinética final e inicial.

Ejemplo

• Velocidad inicial de la bala u=1.0 m/s

• Masa de la bala m=0.25 kg

• Masa del disco M=1.5 kg

• Radio del disco R=0.5 m

• Parámetro de impacto de la bala x=0.3

El momento de inercia del disco respecto de un eje perpendicular al disco que pasa por su c.m. es

Ecuaciones

• Principio de conservación del momento lineal

0.25·1.0=(1.5+0.25)·V_c,  V_c=0.143 m/s

• Principio de conservación del momento angular

0.25·1.0·0.3=(0.1875+0.25·0.3²)ω,  ω=0.357 rad/s

• Balance energético de la colisión

Actividades

Se introduce

• La masa m de la bala, en el control de edición titulado Masa bala.
• La masa del disco M, en el control de edición titulado Masa disco
• El radio del disco se mantiene fijo e igual a 0.5 m.
• La velocidad u de la bala incidente se mantiene fija e igual a 1 m/s.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón, se arrastra la bala de color rojo, para fijar el valor del parámetro de impacto x.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La bala se mueve hacia el disco. Choca y se incrusta en el disco a una distancia x de su centro, observamos el movimiento del conjunto formado por el disco y la bala después del choque.

En la parte superior derecha, se nos proporciona los datos relativos a las velocidades

• V_c de traslación del centro del disco
• ω de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro

Choque de una pelota con un bate de béisbol

En la figura, se muestra el esquema del choque entre un bate y una pelota de béisbol. La pelota de masa m y velocidad u, choca contra un bate de masa M y de momento de inercia I respecto de un eje que pasa por su centro de masa. Vc es la velocidad final del c.m. de bate, ω y ω0 son las velocidades angulares inicial y final del bate, x es la distancia desde el c.m. del bate y el punto donde choca la pelota.

Podemos efectuar una primera aproximación, suponiendo que el bate es una varilla rígida delgada de masa M y longitud L que está suspendida libremente e inicialmente en reposo, y la pelota se comporta como una partícula de masa m que lleva una velocidad u, y que choca con el bate a una altura x medida desde su centro de masas.

En la figura de la izquierda, se muestra la situación inicial y en la de la derecha la situación final: la partícula lleva una velocidad v, y la varilla describe un movimiento de rotación alrededor de su centro de masas con velocidad angular ω, y su centro de masas se traslada con velocidad Vc.

El sistema formado por la partícula y la varilla es aislado, la resultante de las fuerzas exteriores es cero, por lo que son aplicables los principios de conservación del momento lineal y angular.

• Principio de conservación del momento lineal

mu=MV_c+mv

• Principio de conservación del momento angular

mu·x=I_cω+mv·x

donde I_c=ML²/12 es el memento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.

Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas v, ω y V_c.

• El balance energético de la colisión es la diferencia entre las energías cinética final e inicial.

donde Q es la energía perdida en la colisión, una cantidad negativa que indica que la energía final es menor que la inicial.

Si el choque es perfectamente elástico Q=0, disponemos de una tercera ecuación que nos permite despejar las tres incógnitas: v, ω y V_c  conocida la velocidad u de la partícula incidente. En los demás casos desconocemos el valor de Q.

La definición de coeficiente de restitución e nos proporciona la tercera ecuación

Podemos suponer que la partícula de masa m y velocidad u choca contra una hipotética partícula inicialmente en reposo situada en el bate a una altura x. Después del choque la primera partícula lleva una velocidad v, y la segunda una velocidad V_c+ ω·x, la suma de la velocidad de traslación y rotación.

la velocidad relativa de acercamiento es u-0 la velocidad relativa de alejamiento es v-(Vc+ ω·x) El coeficiente de restitución e se define v-(Vc+ ω·x)=-e(u-0)

Si conocemos el dato del coeficiente de restitución e, disponemos de tres ecuaciones con tres incógnitas. Después de algunas operaciones obtenemos

• La velocidad angular ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m.

• La velocidad V_c de traslación del c.m. de la varilla

• La velocidad v de la partícula después del choque

v=-eu+V_c+ω·x

A continuación, podemos calcular las energías de la partícula y de la varilla antes y después del choque.

Casos particulares

• Colisión inelástica partícula-varilla

Supongamos que una bala con velocidad u que choca con un bloque de masa M y longitud L y se empotra en el mismo, tal como se indica la figura. La velocidad inicial de la bala de masa m es u La velocidad final de la bala es v=Vc+ωx, siendo Vc la velocidad del c.m. del bloque y ω la velocidad angular de rotación del bloque alrededor de un eje que pasa por el c.m.

1.      Del principio de conservación del momento lineal, obtenemos la primera ecuación
mu=MV_c+m(V_c+ωx)

2.      Del principio de conservación del momento angular, obtenemos la segunda ecuación
mu·x=I_cω +m(V_c+ωx)x

El primer término, es el momento angular del bloque y el segundo, el momento angular de la bala empotrada a una distancia x del eje del bloque.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas V_c y ω.

Que son las ecuaciones que hemos obtenido anteriormente con el coeficiente de restitución e=0.

• La partícula impacta en el c.m. de la varilla

Supongamos que x=0, la partícula choca con el c.m. de la varilla. Esto es equivalente al choque de dos partículas una de masa m y velocidad u y otra de masa M inicialmente en reposo. Las ecuaciones que describen este choque son

• Conservación del momento lineal

mu=MV_c+mv

• Definición de coeficiente de restitución

v-V_c=-e·u

Despejamos las incógnitas v y V_c

v=V_c-eu

Que como vemos son las ecuaciones deducidas anteriormente con x=0.

Ejemplos

• Velocidad inicial de la partícula u=1.0 m/s

• Masa de la partícula m=0.25 kg

• Masa de la varilla M=1.5 kg

• Longitud de la varilla L=1.0 m

• Coeficiente de restitución e=0.7

• Parámetro de impacto de la partícula x=0.3

El momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su c.m. es

Ecuaciones

1. Principio de conservación del momento lineal

0.25·1.0=1.5·V_c+0.25·v

2. Principio de conservación del momento angular

0.25·1.0·0.3=0.125ω+0.25v·0.3

3. Coeficiente de restitución

v-(V_c+ ω·0.3)=-0.7(1.0-0)

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y calculamos después del choque

• la velocidad de la partícula  v=-0.262 m/s,

• la velocidad del centro de masas de la varilla  V_c=0.210 m/s,

• la velocidad angular de rotación de la varilla alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su c.m, ω=0.757 rad/s

Balance energético de la colisión

Ejemplo 2:

Cambiamos el coeficiente de restitución e=1

v=-0.485 m/s, V_c=0.247 m/s,  ω=0.891 rad/s

Balance energético de la colisión, Q=0 

Actividades

Se introduce

• La masa m de la partícula, en el control de edición titulado Masa partícula.
• La masa de la varilla M, en el control de edición titulado Masa varilla
• El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. de restitución.
• La longitud de la varilla L se mantiene fija e igual a 1 m.
• La velocidad u de la partícula incidente se mantiene fija e igual a 1 m/s.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón, se arrastra la partícula incidente de color rojo, para fijar el valor del parámetro de impacto x.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La partícula incidente se mueve hacia la varilla. Choca y observamos el movimiento de la partícula incidente (de color rojo) después del choque, y el movimiento de traslación y de rotación de la varilla.

En la parte superior derecha, se nos proporciona los datos relativos a las velocidades

• v de la partícula después del choque
• V_c de traslación del c.m. de la varilla
• ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m.

En la parte inferior izquierda, se representa un diagrama en forma de tarta que muestra como se distribuye la energía después del choque. Los sectores representan:

• La energía cinética de la partícula incidente después del choque E₁=mv²/2 (en color rojo).
• La energía cinética de traslación del c.m. de la varilla E₂=MV_c²/2 (en color azul).
• La energía cinética de rotación de la varilla E₃=I_cω²/2 (en color gris)

Si el choque es elástico, la energía inicial es igual a la final. Si el choque no es elástico la energía inicial es mayor que la final. Un círculo de mayor radio de color gris claro indica la energía inicial, y el de menor radio dividido en sectores la energía final.