Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Movimiento de una esfera en una plataforma giratoria Caja sobre un plano inclinado Comportamiento oscilatorio Un disco que gira y desliza
Partícula en el borde de un aro que rueda Cuerpo que rueda sobre una cicloide Curvas cicloidales La rueda cuadrada |
 La dirección de la fuerza pasa por el
centro del disco |
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En esta página, se estudia el movimiento de un disco que desliza sobre una superficie horizontal impulsado por una fuerza de módulo constante. Supondremos que no hay rozamiento entre le disco y el plano sobre el que desliza. Un cohete que quema combustible a razón constante proporciona una fuerza de módulo constante. Para describir el movimiento del centro del disco, se emplean las integrales de Fresnel, que son funciones especiales que utilizaremos para describir la intensidad debida a la difracción producida por el borde de una hoja, de una rendija de dimensiones dadas, etc.
La dirección de la fuerza pasa por el centro del discoEmpezamos por el caso más sencillo. El disco gira con velocidad angular constante ω0, y la dirección de la fuerza pasa por el centro del disco. Las ecuaciones del movimiento son: Movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centroLa dirección de la fuerza que ejerce el cohete sobre el disco pasa por el centro del disco, el momento es cero, la velocidad angular de rotación es constante. θ=ω0·t Movimiento de traslación del centro del disco
La fuerza sobre el centro del disco es Fx=F·senθ La aceleración es
Si el disco parte con velocidad inicial nula, vx=0, vy=0.
Integramos de nuevo, suponiendo que el centro del disco parte del origen x=0, y=0
Esta es la ecuación de una cicloide que encontraremos al estudiar
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza
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La dirección de la fuerza es tangente al discoPor razón de conveniencia situaremos el origen de ángulos en el eje Y negativo, para que las componentes de Fx y Fy de la fuerza sean inicialmente positivas, y las componentes de la velocidad vx y vy también lo sean en todo momento.
Movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro El momento de la fuerza de empuje del cohete respecto al centro del disco es F·R La ecuación del movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro
Donde I es el momento de inercia del disco y del cohete situado en el borde. Como la aceleración angular es constante. El ángulo girado θ al cabo de un cierto tiempo t es
Supondremos que el disco parte del reposo, dθ/dt=0 en el instante t=0 Movimiento de traslación del centro del disco Las componentes de la fuerza sobre el disco son Fx=F·cosθ
En la figura, se representa Fy/F
en función del tiempo t, tomando FR/I=1. En el intervalo
angular entre θ=0 y θ1=π o en el intervalo de
tiempo comprendido entre t=0, y
Durante la primera vuelta, el área total es positiva, lo que implica que la componente vy de la velocidad es positiva, y lo mismo cabe decir de las sucesivas vueltas. La suma de las áreas de color amarillo, excede la suma de las áreas de color azul claro. La componente vy de la velocidad del centro del disco es siempre positiva. El mismo argumento se aplica para la componente vx.
Si el disco parte con velocidad inicial nula, vx=0, vy=0.
Se define la integral seno y coseno de Fresnel como
Haciendo el cambio de variable
expresamos las componentes de la velocidad en términos de estas dos funciones especiales
Cuando se representa en el eje X los valores de C(t) y en el eje Y los valores de S(t) para cada instante t, se obtiene una curva denominada espiral de Cornu.
Las componentes de la velocidad son proporcionales a las proyecciones del radio vector que une el origen con el punto de la espiral correspondiente al instante t. La longitud del radio vector es proporcional al módulo de la velocidad. Como podemos apreciar en la figura, dicho módulo alcanza un valor máximo y luego disminuye y aumenta alternativamente hasta que alcanza un valor límite, cuando el tiempo t→∞, C(t) →0.5 y S(t) →0.5. Las componentes de la velocidad final del centro del disco cuando t→∞, son
Integramos de nuevo, para obtener la posición del centro del disco en función del tiempo, suponiendo que parte del origen x=0, y=0, en el instante t=0.
Integramos por partes
De modo análogo
La trayectoria final del centro del disco es rectilínea formando 45º con el eje X pero no pasa por el origen.
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Se pulsa el botón titulado Empieza En la parte izquierda del applet, se representa la trayectoria del centro del disco En la parte derecha del applet, se representa la espiral de Cornu, la longitud del radio vector que une el origen con el punto de la espiral correspondiente al instante t, es proporcional al módulo de la velocidad y las proyecciones sobre los ejes son proporcionales a las componentes vx y vy de la velocidad del centro del disco.
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Dudley S. C., Serna M. A. Spaceship with a thruster-one body, one force. Am. J. Phys. 73 (6) June 2005, pp. 500- 506.
Numerical Recipes in C, Fresnel Integrals, Cosine and Sine Integrals Capítulo 6º. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Java
Disco impulsado por
fuerza constante
la
componente Y de la fuerza Fy es positiva y el
la
componente Y de la fuerza Fy es negativa y el impulso de
la fuerza en dicha dirección es el área de color azul claro
comprendida entre la curva y el eje X. 
