Sólido rígido

Movimiento oscilatorio

Referencias

En esta página, continuamos con la discusión del movimiento de rodar bajo la acción de una fuerza aplicada F. La diferencia con los ejemplos previos es que la fuerza F no es paralela a la superficie a lo largo de la cual rueda el cuerpo, sino que forma cierto ángulo

Este ejemplo es especialmente útil para clarificar ciertas cuestiones de mecánica de los cuerpos rígidos que se ponen de manifiesto cuando hacemos la siguiente demostración de aula. Enrollamos un hilo a un carrete y tiramos de su extremo con una fuerza F tal como indica la figura. Preguntamos a los estudiantes. ¿En qué dirección se moverá el carrete, hacia la izquierda o hacia la derecha?.

Fuerza sobre un carrete

Aplicamos una fuerza F al carrete haciendo un ángulo q  con la horizontal tal como se indica en la figura. La fuerza F tiene una componente horizontal F·cosq .

Las ecuaciones del movimiento son ahora. Dinámica de la traslación del c.m. F·cosq -Fr=m·ac Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. -F·r+Fr·R=Ic·a Además de la condición de rodar (sin deslizar) ac=a ·R

Resolviendo las ecuaciones despejamos las incógnitas a_c y F_r.

La fuerza de rozamiento F_r vale

F_r=Fcosθ-ma_c

La fuerza de rozamiento F_r se anula para un valor del ángulo q _r tal que

El carrete rueda sin fricción independientemente del valor de la fuerza F aplicada, siempre que no supere un valor máximo que se calculará más abajo.

Se producen tres casos

Equilibrio Cuando se cumple que cosq =r/R. La aceleración del c. m. es cero. Como podemos ver en la figura, la dirección de la fuerza F pasa por el punto P de contacto entre el carrete y la superficie horizontal. El momento de la fuerza aplicada respecto de P es cero, no hay rotación alrededor del eje instantáneo que pasa por P. El ángulo qc tal que cosqc=r/R, se denomina ángulo crítico

• Se mueve hacia la derecha

Cuando cosq >r/R, o bien cuando q <q_c, la aceleración a_c es positiva y el carrete se mueve hacia la derecha.

• Se mueve hacia la izquierda

Cuando cosq <r/R, o bien cuando q >q_c, la aceleración a_c es negativa y el carrete se mueve hacia la izquierda.

Condición de rodar sin deslizar

Para cada ángulo θ, hay un límite de la fuerza F que se puede aplicar para que el carrete ruede sin deslizar. Esto ocurre cuando la fuerza de rozamiento F_r alcanza su máximo valor F_r=μ·N= μ(mg-F·senθ)

Conocida la fuerza de rozamiento Fr, calculamos la fuerza máxima F que podemos aplicar y la aceleración máxima ac. μ(mg-F·senθ)=F·cosθ-mac

Sustituyendo a_c por su valor y despejando F

Podemos comprobar que para el ángulo θ=θ_r  se cumple que la fuerza máxima que podemos aplicar es F=mg/senθ,  y por tanto, la normal N vale cero, el carrete deja de tener contacto con el plano horizontal.

Carrete de forma cilíndrica

Si el carrete es un cilindro de masa m y de radio R, cuyo momento de inercia es I_c=mR²/2.entonces k=3/2

La fuerza de rozamiento F_r se anula para un valor del ángulo q _r tal que

Resumiendo, el carrete tiene una aceleración a_c que es positiva si q <q_c y es negativa si q >q_c.  El carrete rueda sin deslizar siempre que la fuerza aplicada F no supere un valor máximo que depende del ángulo y del coeficiente estático de rozamiento.

• Para q =q_c el carrete desliza independientemente del valor del coeficiente de rozamiento estático.
• Para q =q_r el carrete rueda sin deslizar, independientemente de que lo pequeño que sea el coeficiente estático de rozamiento.

Ejemplo:

Sea r/R=0.5, el ángulo crítico q_c=60º, de modo que si

1. Si q =60º el carrete no se mueve
2. Si q <60º el carrete se mueve hacia la derecha. Por ejemplo si q =30º,

• a_c=3.66 m/s²
• F_r=6.83 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.

3. Si q >60º el carrete se mueve hacia la izquierda. Por ejemplo si q =70º,

• a_c=-1.58 m/s²
• F_r=6.71 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.

Actividades

Se introduce

• El valor de la fuerza aplicada F, en el control de edición titulado Fuerza
• La dirección de dicha fuerza, el ángulo q , que forma con la horizontal, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo
• La relación entre el radio del tambor r en el que está enrollada la cuerda y el radio del carrete R, en el control de edición titulado Cociente radios.
• La masa está fijada en el programa interactivo m=1 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza

En este applet solamente se estudia el movimiento de rodar sin deslizar de un carrete de forma cilíndrica. Se supondrá que  la fuerza F aplicada se mantiene siempre por debajo de la fuerza máxima para todos los ángulos comprendidos entre 0 y 180º.

Movimiento oscilatorio

Podemos hacer que el carrete describa un movimiento oscilatorio si logramos, mediante algún dispositivo que la fuerza F  forme un ángulo q  con la horizontal tal que

• q >q _c para que el carrete se desplace hacia la izquierda
• q <q _c para que el carrete se desplace hacia la derecha
• q =q _c el carrete se encuentre en situación de equilibrio

Este dispositivo representado en la figura, es el que se ha simulado en el applet. La parte más difícil es conseguir una fuerza F constante que cambie de dirección a medida que se desplaza el carrete.

La tensión del hilo es F=Mg-Ma. Como vemos F no es constante ya que depende de la aceleración a del bloque de masa M que cuelga del hilo y que a su vez está relacionada con la aceleración del carrete. En el artículo mencionado en la referencia, se supone que F es aproximadamente constante y apunta hacia un punto fijo.

Posición del carrete

En la parte derecha de la figura, se muestra la posición inicial del carrete

• x₀ es la posición del centro del carrete

• θ₀ es el ángulo que forma la cuerda con la dirección horizontal

• l₀ es la longitud de la cuerda hasta la polea

En la parte izquierda de la figura, se muestra la posición del carrete en el instante t

• x es la posición del centro del carrete

• θ es el ángulo que forma la cuerda con la dirección horizontal

x=-r·senθ-d

Eliminado la variable auxiliar d

Energía cinética del carrete

El desplazamiento infinitesimal dx que necesitaremos más adelante vale

Aplicamos el teorema trabajo-energía. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica la energía cinética de dicha partícula.

Si el carrete parte de la posición inicial x₀ con velocidad inicial nula, la energía cinética del carrete de forma cilíndrica cuando su c.m. se encuentra en la posición x es

Así pues, la energía cinética E_k del carrete en una posición x, es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de una función f(θ) que depende del ángulo θ que hace la cuerda con la dirección horizontal

La energía cinética vale cero en la posición d epartida θ₀, alcanza un máximo y se vuelve a valer cero para cierto ángulo θ₁ solución de la ecuación trascendente

f(θ)- f(θ₀)=0

La energía cinética alcanza un valor máximo que se calcula derivando f(θ), es decir, haciendo que el integrando sea cero o bien, que la aceleración a_c sea cero. Esto es, para el ángulo q_c tal que cosq_c=r/R, se denomina ángulo crítico

Para representar la figura, se ha tomado r=1.0 y R=2.0. El carrete parte de θ₀=45º alcanza una velocidad máxima para el ángulo crítico q_c=60º y vuelve a detenerse cuando θ₁ =78º, completando media oscilación. Conocido el dato de la longitud inicial de la cuerda l₀ se puede calcular las posiciones x del centro de masa del carrete para los cuales la velocidad es nula o máxima. En esta descripción, hemos supuesto que no hay fuerzas disipativas y que la energía total se conserva.

Ecuación del movimiento

Ecuación del movimiento

Despejando dθ/dt obtenemos una ecuación diferencial de primer orden que resolvemos por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ=θ₀

Conocido el ángulo θ que forma la cuerda con la dirección horizontal en función del tiempo t, calculamos la posición x del c.m. de carrete en función del tiempo. El carrete presenta un movimiento oscilatorio que difiere del  Movimiento Armónico Simple.

Actividades

Se introduce

• El peso Mg del cuerpo que cuelga, en el control de edición titulado Peso. La tensión F del hilo se supone que es constante e igual a dicho peso.
• El ángulo inicial de partida, actuando en la barra de desplazamiento titulada  Ángulo
• La masa del carrete m=1,
• El radio interior del carrete r=1 y el exterior es R=2.0.La relación de radios es r/R=0.5, el ángulo crítico se mantiene fijo e igual a q_c=60º.
• La longitud inicial de la cuerda se ha fijado en l₀=20

Se pulsa el botón titulado Empieza

Podemos observar que el movimiento del carrete está descrito cualitativamente por la curva de energía cinética (a la izquierda del applet). Se representa la energía cinética en el intervalo angular en (q₀, q₁) en el que se mueve el carrete, o bien desde x₀ a x₁. El carrete parte de q₀ con velocidad cero o con energía cinética cero, va aumentando hasta alcanzar un máximo en el ángulo crítico q_c=60º, decelera hasta que alcanza la posición de retorno q₁, donde la energía cinética vuelve a ser cero. El carrete invierte su dirección y vuelve de nuevo al punto de partida completando una oscilación.

Pulsando el botón titulado Gráfica se representa el ángulo q , en función del tiempo. Podemos apreciar a simple vista que se trata de un movimiento oscilatorio, pero difiere de un Movimiento Armónico Simple.