Viaje de la Tierra a Marte siguiendo una trayectoria en forma de espiral logarítmica.

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Dinámica celeste

Leyes de Kepler
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
Fuerza central y
conservativa
Ecuación de la trayectoria
Solución numérica de
las ecuaciones
Órbita de transferencia
Encuentros espaciales
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Encuentro de una sonda
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Orbitas de la misma
energía
Trayectoria de un 
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Movimiento relativo
Caída de un satélite en
órbita hacia la Tierra.
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación
El problema de Euler
Viaje a la Luna
Posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

La espiral logarítmica

Ecuaciones del movimiento

Tiempo de viaje

Actividades

Referencias

 

En las páginas anteriores, hemos visto que una nave espacial puede pasar de una órbita circular de baja altura a una órbita circular de mayor altura a través de una órbita semielíptica de transferencia. El motor proporciona a la nave dos impulsos de pequeña duración. El primero, para colocarla en la órbita de transferencia y el segundo, para situarla en la órbita circular de destino.

En esta página, se va a describir, una órbita de transferencia en forma de espiral logarítmica que une dos órbitas circulares de distinto radio. Para que la nave siga esta trayectoria solamente es necesario un motor que proporcione una aceleración relativamente pequeña a lo largo del viaje y que va disminuyendo a medida que la nave se aleja del centro de fuerzas.

Como ejemplo significativo, vamos a describir el viaje de una nave espacial desde las proximidades de la Tierra (pero fuera de su esfera de influencia) hasta las proximidades del planeta Marte. En color negro, se muestra la trayectoria espiral de la nave espacial.

 

Posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

La posición del punto P es

x=r·cosq
y=r·
senq

En coordenadas polares, un eje tiene la dirección radial y el otro eje, la dirección perpendicular a la radial, tal como se muestra en la figura.

Las componentes de los vectores unitarios r y θ son

Derivando con respecto del tiempo

La velocidad se expresa en coordenadas polares de la siguiente forma

La aceleración se expresa en coordenadas polares

 

La espiral logarítmica

La espiral logarítmica es una de las curvas notables o maravillosas junto a la catenaria, la cicloide, etc.

La ecuación de la espiral logarítmica en coordenadas polares es

r=r0·exp(b·θ)

Donde r0 es el radio inicial, b es un parámetro, y θ es el ángulo en radianes.

La principal característica de la espiral logarítmica es que el radio vector r, y la tangente a la espiral forman un ángulo Ψ que se mantiene constante.

La velocidad v de la partícula que describe una espiral logarítmica es

Calculamos el ángulo Ψ entre los vectores v y r, empleando la definición de producto escalar de dos vectores.

Cuando b→0, Ψ→π/2 y rr0, la espiral logarítmica se convierte en una circunferencia de radio r0.

Longitud de un arco de la espiral logarítmica

La longitud de un arco infinitesimal ds es el módulo del vector desplazamiento dr.

La longitud del arco de espiral logarítmica entre θ=0 y θ es

 

Ecuaciones del movimiento

Supondremos que el motor de la nave espacial de masa m proporciona una fuerza de empuje F que tiene la misma dirección que la velocidad de la nave, es decir, es tangente a la trayectoria.

Las fuerzas que actúan sobre la nave espacial son:

  • La fuerza de empuje F de los motores de la nave

  • La fuerza de atracción del Sol, GMm/r2 se supone que la nave espacial está fuera de las esferas de influencia de la Tierra (cuando sale) y de Marte (cuando llega).

En coordenadas polares, la ecuación del movimiento se escribe

Como la ecuación de la trayectoria es r=r0·exp(θ·cotΨ), calculamos la derivada primera y segunda de r con respecto del tiempo t

Introducimos estas expresiones en las ecuaciones del movimiento

Despejamos rd2θ/dt2 en la segunda ecuación y la introducimos en la primera, se obtiene la ecuación

Sabiendo que la ecuación de la trayectoria es r=r0·exp(θ·cotΨ), integramos esta ecuación diferencial para obtener la variación del ángulo θ con el tiempo t.

Teniendo en cuenta que la derivada primera de r respecto del tiempo t es

Transformamos la ecuación diferencial en θ en una ecuación diferencial similar en r.

Integramos esta ecuación diferencial para obtener la variación del radio r con el tiempo t.

Las ecuaciones paramétricas (en función del tiempo t) de la trayectoria son

Velocidad de la nave espacial

El módulo de la velocidad de la nave espacial en coordenadas polares es

es igual a la velocidad de una nave espacial que describa una órbita circular de radio r.

Fuerza de empuje sobre la nave espacial

La segunda ecuación del movimiento, nos permite calcular el módulo de la fuerza F de empuje de los motores de la nave.

Conocemos la expresión de la derivada primera dθ/dt y calculamos la derivada segunda  d2θ/dt2 del ángulo θ respecto del tiempo t. Para ello, combinamos las ecuaciones

 r=r0·exp(θ·cotΨ),

para obtener la expresión

Derivando con respecto del tiempo, y teniendo en cuenta que el segundo miembro es constante.

Ahora, se despeja de la segunda ecuación del movimiento la fuerza de empuje

 

El empuje F necesario para que la nave espacial describa una trayectoria en forma de espiral logarítmica va disminuyendo de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al Sol. Su dirección es la misma que la velocidad (tangente a la trayectoria).

 

Tiempo de viaje

El tiempo de viaje T a un planeta que dista r del Sol es

La posición angular θ de la nave espacial en función del tiempo t es

Introducimos el valor del tiempo de viaje t=T, obtenemos después de simplificar

Ejemplo

  • La Tierra describe una órbita aproximadamente circular alrededor del Sol de radio r0=1.0 UA=1.496·1011 m.

  • Marte describe una órbita aproximadamente circular alrededor del Sol de radio r=1.524 UA=2.280·1011 m.

  • La masa del Sol es M=1.98·1030 kg

  • La constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2

Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme calculamos la velocidad angular de Marte en su órbita circular alrededor del Sol.

ωM=1.055·10-7 rad/s=0.5225º/día

Cálculos similares se realizan para obtener la velocidad angular de la Tierra ωT en su órbita circular alrededor del Sol.

Si queremos que el viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte se realice en T=3 años=36 meses=1080 días. De la fórmula del tiempo T de viaje, obtenemos el valor del ángulo Ψ=88.2º.

El desplazamiento angular de la nave espacial es θf=13.3 rad=761º

Si la posición inicial (en el instante t=0) del planeta Marte es φ0M, su posición cuando llega la nave espacial a las proximidades de su órbita circular, al cabo de un tiempo T es

φM0MMT

La nave espacial parte de la Tierra en el instante t=0, cuando su posición es φ0T

Para llegar a la órbita de Marte, la nave se desplaza un ángulo θf. Su posición angular final será φ0T+ θf

Para que la posición de la nave espacial y de Marte coincidan se tiene que cumplir la igualdad

φ0T+ θf0MMT

La diferencia entre las posiciones angulares de la Tierra y de Marte en el momento del lanzamiento de la nave espacial (t=0) deberá ser de

φ0T - φ0MMT- θf
φ0T - φ0M =
0.5225·1080-761=-196.6º

En la figura, se muestra las posiciones de la Tierra y Marte en el momento de partida de la nave espacial para un viaje de 3 años.

Actividades

Se introduce

  • El tiempo de viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte, en meses (30 días), actuando en la barra de desplazamiento titulada Tiempo de viaje.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se calcula el intervalo angular (φ0T - φ0M) entre las posiciones de la Tierra y de Marte en el momento de la partida de la nave espacial, tal como se ha hecho en el ejemplo.

Se pulsa el botón titulado Lanzar.

Si la nave no llega a Marte, se pulsa el botón titulado Nuevo y se vuelve a intentar

En la parte derecha del applet, se nos proporciona los valores del tiempo (en días), la posición angular y la velocidad de los tres cuerpos: la nave espacial, la Tierra y Marte.

Observamos que la nave espacial parte de las proximidades de la Tierra con su misma velocidad orbital y llega a las proximidades de Marte con su misma velocidad orbital. 

KeplerApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Bacon R. H. Logarithmic spiral: An ideal trajectory for interplanetary vehicle with engines of low sustained thrust. Am. J. Phys. 27 (1959), pp. 164-165.