Movimiento relativo de dos cuerpos en órbitas alrededor de la Tierra

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Dinámica celeste

Leyes de Kepler
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
Fuerza central y
conservativa
Ecuación de la trayectoria
Solución numérica de
las ecuaciones
Órbita de transferencia
Trayectoria espiral
Encuentros espaciales
Encuentro de una sonda
espacial con Júpiter
Orbitas de la misma
energía
Trayectoria de un 
proyectil (I)
Trayectoria de un 
proyectil (II)
marca.gif (847 bytes)Movimiento relativo
Caída de un satélite en
órbita hacia la Tierra.
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación
El problema de Euler
Viaje a la Luna
Movimiento circular de la nave espacial alrededor de la Tierra

Movimiento del cuerpo que está a una cierta altura sobre la nave espacial

Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacial

Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacial

Descripción del movimiento relativo del cuerpo. Solución numérica.

Una solución analítica sencilla

Una solución analítica más completa

Referencias

 

Hemos estudiado que las naves espaciales describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el centro de la Tierra. Supongamos que una nave espacial describe una órbita circular de radio r0. En un momento dado, se lanza un cuerpo con una velocidad u relativa a la nave espacial en cualquier dirección, contenida en el plano de su órbita. Supondremos el cuerpo es pequeño de modo que su lanzamiento no altera apreciablemente la trayectoria circular de la nave espacial.

Vamos a comprobar la complejidad de las trayectorias que describe el cuerpo visto por un astronauta que viaja en la nave espacial. Finalmente, efectuaremos algunas aproximaciones para describirlas de forma analítica

 

Movimiento circular de la nave espacial alrededor de la Tierra

Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular, para calcular la velocidad de la nave espacial de masa m que describe un movimiento circular de radio r0.

donde G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y M=5.98·1024 kg es la masa de la Tierra y R=6.37·106 m es su radio.

Ejemplo:

Supongamos que la nave espacial describe una órbita circular a una altura de 4000 km por encima de la superficie de la Tierra r0=6.37·106+4.0·106 =10.37·106 m

El tiempo que tarda en dar una vuelta es

P0=2πr0/v0=10506 s

 

Movimiento del cuerpo que está a una cierta altura sobre la nave espacial

Consideremos primero, el caso más simple, el movimiento de un cuerpo que está a una distancia h de la nave espacial medida a lo largo de la dirección radial y que en el instante inicial, tiene su misma velocidad. Se suelta el cuerpo y comprobamos que ambos se mueven en órbitas distintas.

Vamos a considerar dos casos que h sea positiva, la altura del cuerpo sea mayor que el de la nave espacial, y que h sea negativa, la altura del cuerpo sea menor que la de la nave espacial.

La constancia del momento angular y de la energía del cuerpo nos permiten calcular la distancia máxima o mínima r2 y su velocidad v2, conocidas la distancia mínima o máxima r1=r0+h y su velocidad v1=v0.

 

Despejamos v2 y r2

El semieje mayor de la elipse es a=(r1+r2)/2 y el periodo P, o tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa es

En la figura, vemos la trayectoria seguida por un cuerpo sujeto a la nave espacial y que se suelta en el instante inicial con la misma velocidad v0 que lleva la nave. En la figura de la izquierda, la altura del objeto es menor que el de la nave espacial, h<0, el cuerpo va por delante de la nave. En la figura de la derecha, la altura del objeto es mayor que el de la nave espacial, h>0, el cuerpo va por detrás de la nave.

Ejemplo:

  • El cuerpo está por encima de la nave espacial

La nave espacial dista  r0=6.37·106+4.0·106=10.37·106 m, del centro de la Tierra (o bien, 4000 km de altura sobre la superficie de la Tierra) y sea h=80·103 (el cuerpo está 80 km por encima de la nave espacial)

La velocidad de la nave espacial como hemos calculado en el apartado anterior es de v0=6202 m/s y el tiempo que tarda en dar una vuelta es P0=2πr0/v0=10506 s

Dado r1=r0+h=10.37·106+80·103=10.45·106 m, y v1=6202 m/s calculamos v2 y r2

El semieje mayor de la elipse vale a=(10.45·106 +10.61·106)/2=10.53·106 m, y el periodo

Como el semieje es mayor que el radio de la órbita circular a>r0, el periodo P del movimiento del cuerpo es mayor que el de la nave espacial P0. El cuerpo va por detrás de la nave espacial

  • El cuerpo está por debajo de la nave espacial

Dado r1=r0-h=r1=r0+h=10.37·106-80·103=10.29·106 m, y v1=6202 m/s calculamos v2 y r2

El semieje mayor de la elipse vale a=(10.29·106 +10.13·106)/2=10.21·106 m, y el periodo P=10266 s que es menor que el periodo P0 de la nave espacial. El cuerpo va por delante de la nave espacial.

 

Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacial

La posición del cuerpo respecto del Sistema de Referencia Inercial situado en el centro de la Tierra es

x=r·cos(θ)
y=r·
sen(θ)

donde r y θ son funciones del tiempo t, véase la ecuación de la trayectoria

La posición del cuerpo visto por un astronauta que viaja en la nave espacial o bien, respecto del Sistema de Referencia no Inercial OX’Y’ es

x’=r·cos(θ-ωt)-r0
y’=r·
sen(θ-ωt)

siendo ω=v0/r0 la velocidad angular de rotación constante de la nave espacial y r0 el radio de su órbita.

En el Sistema de Referencia no Inercial el eje X' es la dirección radial, y el eje Y' es la dirección tangente a la circunferencia de radio r0. Si x'>0 el cuerpo está por encima de la nave espacial, y si x'<0 el cuerpo está por debajo. Si y'>0 el cuerpo se mueve por delante y si y'<0 el cuerpo se mueve detrás de la nave espacial.

En la figura, el cuerpo tiene inicialmente, una altura mayor que la nave espacial. Desde el punto de vista del astronauta, el cuerpo va por detrás de la nave espacial y su distancia se va agrandando con el paso del tiempo en la dirección tangencial Y'. La flecha roja indica la dirección y sentido del movimiento de la nave.

 

Actividades

Se introduce

  • La altura en km de la nave espacial sobre la superficie de la Tierra, en el control de edición titulado Altura

  • La distancia h en km, medida a lo largo de la dirección radial entre la nave espacial y el cuerpo en el instante inicial, actuando en la barra de desplazamiento titulada Distancia.

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte izquierda del applet, se representa el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la Tierra:

  • La nave espacial, es un punto de color rojo en órbita circular alrededor de la Tierra

  • El cuerpo, es un punto de color azul que describe una trayectoria elíptica

A la derecha del applet, se representa la trayectoria seguida por el cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial.

  • El eje vertical X' es la dirección radial y nos indica si el cuerpo está por encima o por debajo de la nave espacial.

  • El eje horizontal Y' es la dirección tangencial a la órbita de la nave espacial y nos indica si el cuerpo está por delante o por detrás de la nave espacial.

Las distancias tanto en el eje horizontal Y' como en el vertical X' están expresadas en km.

Para poder ver adecuadamente la trayectoria, se puede elegir la escala en el control de selección titulado Escala y a continuación, se pulsa el botón titulado Empieza.

 
                                          

 

Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacial

Supongamos que un cuerpo de pequeña masa se lanza desde una nave espacial con velocidad relativa u y haciendo un ángulo α respecto del eje X' (dirección radial).

La velocidad v del cuerpo y su dirección φ respecto al Sistema Inercial de Referencia situado en el centro de la Tierra, se calculan sumando los vectores v=u+v0 de la figura. Sus componentes son:

vx=u·cosα
vy=v0+u
·senα

El módulo de la velocidad resultante v y su dirección φ son:

La ecuación de la trayectoria del cuerpo de masa m está determinada por la energía y el momento angular

La trayectoria es independiente de la masa m del cuerpo y es una elipse si E<0, cuyo semieje mayor está girado un cierto ángulo que se calcula poniendo r=r0 en la ecuación de la trayectoria y despejando el ángulo θ. Véase las páginas tituladas "Órbitas de la misma energía", "Trayectoria de un proyectil disparado desde una altura h sobre la superficie de la Tierra" y "Choque de un meteorito con la Tierra".

Ejemplo:

Sea r0=6.37·106+4.0·106, (4000 km de altura sobre la superficie de la Tierra)

  • Se lanza el cuerpo en dirección radial

La velocidad de la nave espacial como hemos calculado en el apartado anterior es de v0=6202 m/s y el tiempo que tarda en dar una vuelta es P0=2πr0/v0=10506 s

Si lanzamos el cuerpo con una velocidad u=100 m/s con α=0º.

La velocidad v del cuerpo respecto de la Tierra es

vx= 100
vy=
6202

La energía

El semieje mayor de la elipse se puede calcular también mediante la fórmula

El periodo P es

El periodo es un poco menor que el de la nave espacial

El objeto describe una trayectoria casi elíptica desde el punto de vista del astronauta. Se aleja por detrás de la nave y asciende, luego, desciende y se acerca hasta casi el lugar de partida, al cabo de un periodo de revolución de la nave espacial.

La flecha roja indica la dirección y el sentido de la velocidad de la nave.

  • Se lanza el cuerpo en la dirección tangencial, en el sentido en el que se mueve la nave espacial

Si lanzamos el cuerpo con una velocidad u=100 m/s haciendo un ángulo de α=90º con el eje X' (dirección radial), en la dirección del movimiento de la nave espacial Y', la velocidad v del cuerpo respecto de la Tierra es

vx=0
vy=
6302

La energía  E=-18.61·106·m J. El semieje mayor de la elipse a=10.72·106 m y el periodo P=11040 s un poco mayor que el de la nave espacial

El objeto visto por un astronauta que viaja en la nave espacial, avanza al principio en la dirección del movimiento de la nave espacial, gira hacia arriba y comienza a alejarse por detrás de la nave a lo largo de la dirección tangencial Y', describiendo una trayectoria compleja. A la izquierda, observamos los primeros instantes del movimiento del cuerpo vistos por el astronauta, y a la derecha, durante algo más de tres revoluciones de la nave espacial.

Actividades

Se introduce

  • La altura en km de la nave espacial respecto de la superficie de la Tierra, en el control de edición titulado Altura

  • La velocidad u del cuerpo que es lanzado desde la nave espacial, en el control de edición titulado Velocidad relativa

  • La dirección α de dicha velocidad, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

  • El ángulo α=0, corresponde a un lanzamiento hacia arriba (en la dirección radial),

  • α=90º, el lanzamiento es hacia delante, en la misma dirección (tangencial)  y sentido que la velocidad de la nave.

  • α=180º, corresponde a un lanzamiento hacia abajo, en dirección hacia el centro de la Tierra

  • α=270º, el lanzamiento hacia atrás, en la misma dirección (tangencial) y en  sentido contrario a la velocidad de la nave.

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte izquierda del applet, se representa el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la Tierra:

  • La nave espacial es un punto de color rojo en órbita circular alrededor de la Tierra

  • El cuerpo es un punto de color azul que describe una trayectoria elíptica

A la derecha del applet, se representa la trayectoria seguida por el cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial.

  • El eje vertical X' es la dirección radial y nos indica si el cuerpo está por encima o por debajo de la nave espacial.

  • El eje horizontal es la dirección tangencial a la órbita de la nave espacial y nos indica si el cuerpo está por delante o por detrás de la nave espacial.

Las distancias tanto en el eje horizontal Y' como en el vertical X' están expresadas en km.

Para poder ver adecuadamente la trayectoria, se puede elegir la escala en el control de selección titulado Escala, y a continuación se pulsa el botón titulado Empieza.

 

                                        

 

Descripción del movimiento relativo del cuerpo. Solución numérica.

El cuerpo de masa m está sometido a una fuerza atractiva F cuya dirección es radial y apuntando hacia el centro de la Tierra. El módulo de la fuerza viene dado por la ley de la Gravitación Universal

Siendo r la distancia entre el centro del cuerpo y el centro de la Tierra, y x e y su posición respecto del Sistema de Referencia Inercial cuyo origen está situado en el centro de la Tierra.

Las componentes de la fuerza son

Aplicando la segunda ley de Newton, y expresando la aceleración como derivada segunda de la posición, tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Vamos a describir el movimiento desde el punto de vista de un Sistema de Referencia no Inercial que gira respecto del Sistema de Referencia Inercial con velocidad angular ω=v0/r0 (la velocidad angular constante de la nave espacial).

Las relaciones entre las coordenadas del cuerpo medidas en el Sistema de Referencia Inercial (x, y) y las medidas en el Sistema de Referencia no Inercial (x’, y’) son

x=x’cos(ωt)-y’sen(ωt)
y
=x’sen(ωt)+y’cos(ωt)

Calculamos las derivadas segundas de x y de y respecto del tiempo td2x/dt2 y d2y/dt2, obtenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales en términos de x’ e y’ y de sus derivadas. Multiplicamos la primera ecuación por cos(ωt) y la segunda por sen(ωt) y las sumamos. Obtenemos la ecuación diferencial

Multiplicamos la primera ecuación por -sen(ωt) y la segunda por cos(ωt) y las sumamos. Obtenemos la ecuación diferencial

Los dos términos que han aparecido en la parte izquierda de la ecuación diferencial representan las pseudofuerzas por unidad de masa, denominadas de Coriolis y centrífuga.

Dadas las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial), el sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede integrar aplicando un procedimiento numérico.

  • Movimiento del cuerpo que está a una cierta distancia de la nave espacial

Las condiciones iniciales son x’=r0+h, y’=0, dx’/dt=0, dy’/dt=v0.

Siendo r0, el radio de la órbita de la nave espacial, y v0, su velocidad constante, h es la altura por encima o por debajo de la nave a la que se abandona un cuerpo inicialmente sujeto a la nave.

  • Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacial con velocidad relativa u, haciendo un ángulo α con la dirección radial

Las condiciones iniciales son x’=r0, y’=0, dx’/dt=u·cosα, dy’/dt= u·senα

Como la nave espacial dista r0 del centro de la Tierra, la posición del cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial tiene por abscisa x’-r0 y por ordenada y’, véase la figura del apartado "Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacial"

 

Una solución analítica sencilla

Un astronauta que sale de la nave espacial adquiere su velocidad relativa mediante el impulso de pequeños cohetes situados en su mochila, o mediante la acción de los músculos de sus brazos o sus piernas apoyados en el exterior de la nave. En ambos casos, la velocidad relativa u del astronauta respecto de la nave espacial es muy pequeña comparada con la velocidad v0 de la nave, y el tiempo que tarda en moverse de un lugar a otro es muy pequeño comparado con el periodo P0 o tiempo que tarda la nave en completar una órbita.

En la siguiente tabla, se proporcionan algunos datos.

Altura (km)

Velocidad (m/s) v0

Periodo (min) P0

400

7676

92

1000

7356

105

2000

6903

127

3000

6524

150

4000

6202

175

5000

5923

201

Sin embargo, como vamos a comprobar en este apartado, la desviación de la trayectoria seguida por el astronauta u otro cuerpo cualquiera respecto de la rectilínea es muy acusada incluso para pequeños desplazamientos.

De nuevo, consideramos que la nave espacial se mueve en una órbita circular de radio r0.

En el Sistema de Referencia (S. R.) Inercial cuyo origen es el centro de la Tierra, la posición de la nave espacial viene dada por el vector r0, de módulo r0 constante y que gira con velocidad angular constante ω=v0/r0. La posición del cuerpo está indicada por el vector r.  

Describimos el movimiento del astronauta en el S. R. no Inercial con origen en la nave y cuyos ejes son la dirección radial y tangencial, respectivamente. Estos ejes que denominaremos X’ e Y’ giran con velocidad angular ω, vistos desde el S. R. Inercial situado en la Tierra, véase el apartado titulado "Descripción del movimiento del cuerpo. Solución numérica"

Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el S. R. no Inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el S. R. Inercial son las siguientes:

ω=ωk es el vector velocidad angular de rotación cuya dirección (eje Z) es perpendicular al plano de la órbita y cuyo sentido apunta hacia el lector, si la nave espacial gira en sentido antihorario, v’ es la velocidad del astronauta en el S. R. no Inercial. Por razón de simplicidad, restringiremos el movimiento del cuerpo al plano de la órbita de la nave.

Para obtener una expresión analítica sencilla, supondremos que las fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza centrífuga son iguales y opuestas en las proximidades de la órbita circular de radio r0, en la que se va a mover el cuerpo. Esta es la razón de la sensación de carencia de peso que experimenta un astronauta en el interior de la nave y por la cual, observamos a éstos moverse libremente.

Supondremos por tanto, que la única aceleración que afecta al cuerpo en el S. R. ligado a la nave es la de Coriolis.

La aceleración a’ del astronauta en el S. R. no Inercial es

a’≈-2ωk×(vx’i+vy’j)=2ωvy’i-2ωvxj

En forma de ecuación diferencial, escribiremos

Derivando de nuevo con respecto del tiempo, se desacoplan las dos ecuaciones diferenciales

Tenemos dos ecuaciones diferenciales cuya solución es similar a la de un Movimiento Armónico Simple (MAS) pero en la velocidad (no en la posición).

vx’=Asen(2ωt)+Bcos(2ωt)
vy’
=Csen(2ωt)+Dcos(2ωt)

Los coeficientes A, B, C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 con velocidad inicial v0x’=u·cosα, v0y’=u·senα, y cuyas componentes de la aceleración (derivada de la velocidad) inicial son a0x’=2ωv0y’ y a0y’= -2ωv0x’

Integramos de nuevo, teniendo en cuenta que el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 en el instante t=0.

Casos particulares

  1. El cuerpo se lanza en la dirección radial α=0 (a lo largo del eje X’) v0y’=0

La trayectoria es una circunferencia cuyo centro está en (0, -a)

  1. El cuerpo se lanza en la dirección tangencial (eje Y’), v0x’=0

La trayectoria es una circunferencia cuyo centro está en (a, 0)

 

En la figura, se muestra las trayectorias seguidas por un cuerpo que el lanzado en el interior de la nave espacial con una velocidad de 0.3 m/s en varias direcciones. La nave espacial se encuentra describiendo una órbita circular 400 km de altura. La flecha de color rojo señala la dirección y sentido del movimiento de la nave espacial. Cuanto menor es la velocidad del cuerpo, y cuanto mayor es la velocidad angular de la nave espacial más se desvía la trayectoria seguida por el cuerpo de la rectilínea.

 

Actividades

Se introduce

  • La altura en km de la nave espacial respecto de la superficie de la Tierra, en el control de edición titulado Altura

  • La velocidad u del cuerpo que es lanzado desde la nave espacial, en el control de edición titulado Velocidad relativa

  • La dirección α de dicha velocidad, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

  • El ángulo α=0, corresponde a un lanzamiento hacia arriba (en la dirección radial o eje X’),

  • α=90º, el lanzamiento es hacia delante, en la misma dirección (tangencial o eje Y’)  y sentido que la velocidad de la nave.

  • α=180º, corresponde a un lanzamiento hacia abajo, en dirección hacia el centro de la Tierra

  • α=270º, el lanzamiento hacia atrás, en la misma dirección (tangencial)  y en  sentido contrario a la velocidad de la nave.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El applet representa una estación espacial de 100 m de longitud. Se lanza un cuerpo desde el centro de la nave en una determinada dirección.

La recta de color rojo, señala la trayectoria que seguiría el cuerpo en una nave espacial situada en una región libre de fuerzas. La curva en color azul señala la trayectoria del cuerpo cuya dirección de la velocidad es desviada por la aceleración de Coriolis.

Podemos medir la desviación que experimenta el astronauta y la influencia de la altura de la nave espacial o de su distancia al centro de la Tierra, r0, la dirección α de la velocidad inicial y el módulo u de dicha velocidad.

 

                                              

 

Una solución analítica más completa

La solución dada en el apartado anterior es válida solamente

  • Cuando el cuerpo se mueve en las proximidades de la nave espacial

  • Cuando el tiempo de viaje es una pequeña fracción del periodo orbital

En este apartado, presentamos una solución que no realiza unas aproximaciones tan drásticas y por tanto, hacen que su validez sea más general.

La fórmula que relaciona la aceleración a’ medidas en el S. R. no inercial con la aceleración a medida en el S. R. inercial es la siguiente:

  • La aceleración a es la fuerza de atracción por unidad de masa (o intensidad del campo gravitatorio g) que tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra

  • El término -2ω×v’ es la aceleración de Coriolis

  • El término -ω×ω×r  es la aceleración centrífuga

  • ω=ωk es el vector velocidad angular de rotación cuya dirección (eje Z) es perpendicular al plano de la órbita y cuyo sentido apunta hacia el lector, si la nave espacial gira en sentido antihorario, ω=v0/r0.

  • v’ es la velocidad del cuerpo en el S. R. no Inercial

  • r0 es el vector que señala la posición de la nave espacial en el S.R. inercial

  • r es la posición del cuerpo en el S. R. Inercial

  • r’ es la posición del cuerpo en el S. R. no Inercial

La relación entre los tres vectores es r=r0+r’,

La aceleración a’ se escribe

Si la distancia entre el cuerpo y la nave espacial se mantiene pequeña comparada el radio r0 de la órbita de la nave espacial, podemos desarrollar en serie, la aceleración de la gravedad y despreciar los términos en (r’/r0)2.

El módulo del vector r=r0+r’, es

El módulo de la aceleración de la gravedad se aproxima a

La aceleración a' del cuerpo en el S. R. no Inercial es

En una órbita circular de radio r0, la fuerza centrífuga y la fuerza de atracción se anulan, de modo que se cancelan el primer y sexto término de la larga expresión de la aceleración a’ y además, se desprecia el cuarto término en r’2/r0

La compensación de la fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza centrífuga

producen el sentido de ingravidez que experimentan los astronautas en una nave espacial

La aceleración a’ del cuerpo en el S.R. no Inercial se puede aproximar a

Restringiendo el movimiento del cuerpo al plano de la órbita, se calculan los productos vectoriales de los vectores:

r’=x’i+y’j
ω=
ωk
v’
=vx’i+vy’j
r0=
r0i

Resultando el sistema de ecuaciones diferenciales

Derivando la primera ecuación diferencial, y sustituyendo la segunda en la primera, desacoplamos el sistema de dos ecuaciones diferenciales

Tenemos una ecuación diferencial cuya solución es similar a la de un Movimiento Armónico Simple (MAS) pero en la velocidad (no en la posición)

vx’=Asen(ωt)+Bcos(ωt)

Los coeficientes A, B, se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 con velocidad inicial v0x’=u·cosα, v0y’=u·senα y cuyas componentes de la aceleración inicial son a0x’=2ωv0y’ y a0y’=-2ωv0x’

vx’=2v0y’sen(ωt)+v0x’cos(ωt)

o bien,

Integramos de nuevo, teniendo en cuenta que el cuerpo sale del origen x’=0, en el instante t=0

Integramos la segunda ecuación diferencial

El resultado es

Se integra de nuevo, con la condición inicial de que x’=0, en el instante t=0.

Casos particulares

  1. El cuerpo se lanza en la dirección radial α=0 (a lo largo del eje X’) v0y’=0

La trayectoria es una elipse

  1. El cuerpo se lanza en la dirección tangencial α=90º (eje Y’), v0x’=0

En la figura, vemos que la trayectoria en este caso es compleja. A la izquierda, vemos su evolución durante los primeros instantes y a la derecha, durante algo menos de dos periodos de revolución de la nave espacial.

 

Referencias

Butikov E. I. Relative motion of orbiting bodies. Am. J. Phys. 69 (1) January 2001, pp. 63-67

Freedman R. A., Helmy I., Zimmerman P. D. Simplified navigation for self-propelled astronauts. Am. J. Phys. 43 (5) May 1975, pp. 438-440