Orbitas de la misma energía.

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Dinámica celeste

Leyes de Kepler
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
Fuerza central y
conservativa
Ecuación de la trayectoria
Solución numérica de
las ecuaciones
Órbita de transferencia
Encuentros espaciales
Trayectoria espiral
Encuentro de una sonda
espacial con Júpiter
marca.gif (847 bytes)Orbitas de la misma
 energía
Trayectoria de un 
proyectil (I)
Trayectoria de un 
proyectil (II)
Movimiento relativo
Caída de un satélite en
órbita hacia la Tierra.
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación
El problema de Euler
Viaje a la Luna

Descripción

Ecuación de la trayectoria

Referencias

 

Imaginemos un misil lanzado desde la superficie de la Tierra verticalmente, y que en el punto más alto de su trayectoria explota en varios fragmentos iguales que salen en todas las direcciones con igual velocidad.

El movimiento posterior de los fragmentos, se debe únicamente a la fuerza de atracción de la Tierra y por tanto, describirán órbitas elípticas si su energía total es negativa.

 

Descripción

El momento angular y la energía de un fragmento de masa m lanzado desde una distancia r0 del centro de la Tierra, con velocidad v0 haciendo un ángulo φ con el radio vector es

Todos los fragmentos tienen la misma energía E, pero distinto momento angular L

En una página previa, demostramos que el semieje mayor a es independiente del momento angular L, y solamente depende de la energía total E.

Todos los fragmentos tienen el mismo semieje mayor a. Por la tercera ley de Kepler el periodo de todos los fragmentos será el mismo. Todos los fragmentos salen a la vez del mismo punto y regresan después de un tiempo igual al periodo al mismo punto.

Vamos a estudiar ahora los distintos casos que pueden presentarse dependiendo del ángulo de lanzamiento.

Cuando el ángulo φ=0

El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El fragmento se eleva y luego cae hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial.

La máxima distancia r a la que se aleja el fragmento, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de constancia de la energía y a continuación, se despeja r.

La velocidad v con la que impacta en la superficie de la Tierra, se obtiene poniendo r=R (radio de la Tierra) en la ecuación de la energía

Cuando el ángulo φ=180º

El fragmento cae directamente hacia la superficie de la Tierra, alcanzando su superficie con la velocidad v calculada en el apartado anterior.

 

Cuando el ángulo φ=90º

El fragmento describe una elipse cuyo eje mayor es 2a=r+r0. Aplicando la constancia del momento angular y de la energía.

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para calcular r y v.

Cuando el ángulo es φ

El fragmento describe una elipse cuyo eje mayor está girado con respecto del eje X.

 

Los dos fragmentos cuyas velocidades forman con el radio vector ángulos φ y 180-φ, tienen el mismo momento angular y la misma energía. Sus trayectorias son simétricas respecto del eje X, tal como podemos ver en la figura.

 

Actividades

Se introduce

  • La velocidad v0 del fragmento en el control de edición titulado Velocidad

  • La posición r0  en el control de edición titulado Posición.

Se pulsa el botón titulado Empieza

No se aceptan valores de v0 y r0 que den lugar:

  • a una energía E positiva o nula.

  • a una trayectoria cuyo apogeo sea mayor de 6 unidades

  • a una trayectoria cuyo perigeo sea menor que 0.1 unidades

Si se cumple alguno de estos tres casos, el foco regresa al control de edición titulado Velocidad, para que el usuario cambie los valores de estos dos parámetros.

En el caso de que los dos valores sean aceptados, se observa las trayectorias de los fragmentos cuya velocidad forma ángulos de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º con el radio vector.

Observamos que todas las trayectorias tienen el mismo eje mayor y por tanto, los fragmentos se vuelven a encontrar en el punto de partida transcurrido un periodo P.

Ejemplos

Para resolver estos ejemplos se adopta un Sistema de Unidades tal que GM=1

Supongamos que introducimos los siguientes valores

  • Posición, r0=3.0

  • Velocidad, v0=0.5

Cuando el ángulo es φ=0.

La distancia máxima que alcanza el fragmento en la dirección radial es

Cuando φ=90.

Primero, calculamos la velocidad de escape a la distancia r0=3.0, que es

Después, calculamos la velocidad y la distancia máxima o mínima al centro de fuerzas

El eje mayor de la elipse es 2a= 3.0+1.8=4.8

Cuando el ángulo es φ=30.

El momento angular vale L=0.5·3·sen30º=0.75

La energía vale E=0.52/2-1/3=-0.21

Calculamos la excentricidad ε de la elipse y el parámetro d

ε2=1-2·0.752·0.21=0.77

d=0.752=0.5625

La mínima distancia del fragmento al centro de fuerzas se produce cuando la posición angular θ=0º y la máxima cuando θ=180º

El eje mayor de la elipse es 2a=rmin+rmáx=4.8

El eje mayor de la elipse se puede obtener de forma directa mediante la fórmula

El periodo de todos los fragmentos es

 
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Ecuación de la trayectoria

Como se ha descrito en otras páginas, una partícula sometida a una fuerza central atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas, describe una trayectoria elíptica si su energía total E<0 es negativa,

Los parámetros d y ε (excentricidad) están relacionados con el momento angular L y la energía E de la partícula

En este apartado, vamos a determinar la ecuación de la elipse que describe una partícula que dista r0 del centro de fuerzas, disparada con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo φ entre dicha velocidad y la línea que une el centro fuerzas y el punto de disparo, tal como se muestra en la figura.

Por ser la fuerza de atracción conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria y vale

Por ser la fuerza de atracción central, el momento angular es constante en todos los puntos de la trayectoria.

L=mr0·v0·senφ

La ecuación de una elipse girada un ángulo θg es

r y θ son las coordenadas polares de la partícula, la distancia al origen y el ángulo que forma el radio vector que une el centro de fuerzas y la partícula con el eje X, respectivamente.

θg es el ángulo que forma el eje mayor de la elipse con el eje X, que se calcula del siguiente modo: cuando θ=0, r=r0

Conocida la energía E y del momento angular L, determinamos los valores de los parámetros d y ε de la elipse.

Definimos el parámetro adimensional

En función de este parámetro

A medida que el ángulo de disparo cambia, 0<φ<π, la excentricidad de la elipse varía

  • La excentricidad es máxima ε=1, cuando φ=0

  • La excentricidad es mínima ε=(A-2)/2, cuando φ=π/2

Como caso particular mencionaremos, que cuando A=2, o cuando la velocidad de disparo es

la trayectoria es una circunferencia, ε=0, de radio r0.

La ecuación de la elipse girada un ángulo θg es

Simplificando, llegamos a la ecuación 

Envolvente de las elipses

Al variar el ángulo φ con el que se dispara la partícula, la ecuación de la envolvente de las trayectorias elípticas se obtiene derivando con respecto a φ e igualando a cero.

Simplificando llegamos a la expresión

Introducimos esta expresión en la ecuación de la elipse, teniendo en cuenta la relación trigonométrica

realizando algunas operaciones

y despejando r, obtenemos la ecuación de la elipse

 

Actividades

  • Se introduce el valor del parámetro A, actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro

Se pulsa el botón titulado Dibuja

Se dibuja las trayectorias elípticas de las partículas disparadas con ángulos φ=30º, 60º, 90º, 120º, 150º. Se dibuja también la envolvente de dichas elipses.

 

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Referencias

Butikov E. Families of Keplerian orbits. Eur. J. Phys. 24 (2003) pp. 175-183

Laporte O., On Kepler ellipses starting from a point of space. Am. J. Phys. 38 (7) July 1970, pp. 837-840