Dinámica |
Sistemas de masa variable (II). Flujo de arena Depósito de arena que se mueve
La fuerza que ejerce la presión atmosférica La lluvia cae en un vagón de tren Una cuerda desliza sobre una mesa Movimiento de una cadena (I) Movimiento de una cadena (II) Caída del extremo de una cadena Caída de una cadena que cuelga Movimiento de una gota de lluvia |
Descripción Reloj de arena de forma cilíndrica |
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DescripciónEn la figura, se muestra un reloj de arena en un instante t. Sea y2 la posición de la superficie libre de la arena en la porción superior e y1 la posición en la porción inferior. La posición del cuello cilíndrico que une ambas porciones es a. Sea A(y) el área de la sección trasversal del reloj de arena en la posición y, y ρ la densidad de la arena.
La posición Yc del centro de masas del sistema está dada por
donde M es la masa total del reloj de arena, y C es una constante que tiene en cuenta la arena que está cayendo, la masa del recipiente de vidrio y otros detalles fijos de la construcción del reloj de arena. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la velocidad del centro de masas vc
El flujo f se define como la masa que sale del recipiente superior en la unidad de tiempo, o que entra en el recipiente inferior en la unidad de tiempo.
La velocidad del c.m. vc tiene una expresión muy simple Mvc=f(y1-y2) Como y1<y2, la velocidad del c.m vc es negativa (hacia abajo) Derivando de nuevo, con respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del centro de masas
El flujo f de arena es aproximadamente constante, por lo que el segundo término es casi nulo. Colocamos el reloj de arena sobre una balanza electrónica. Sea ΔF, la diferencia entre el peso N del reloj en marcha y el peso Mg del reloj de arena parado.
ΔF>0, la aceleración del c.m. es siempre positiva, hacia arriba, aunque el centro de masas se mueve hacia abajo. Cuando el reloj está en marcha, la balanza mide una fuerza N mayor que el peso Mg del reloj parado. En esta deducción, no se considera el estado transitorio, cuando la arena comienza a caer ni cuando termina de fluir la arena, solamente la situación intermedia.
Reloj de arena de forma cilíndricaConsta de dos cilindros iguales de radio R y longitud L, unidos por un cuello por el que fluye arena a razón constante de f kg/s. Posición del centro de masa Calculamos el centro de masas de la arena contenida en ambos recipientes, despreciando el cuello que los une. Los centros de masas de la arena de cada una de las porciones se señalan en la figura mediante puntos de color rojo.
La posición del centro de masas del sistema es
Velocidad del c.m. Derivando con respecto del tiempo
donde se ha definido el flujo f de arena como
Aceleración del c.m. Derivando respecto del tiempo
La aceleración del centro de masas es constante A partir de la fórmula (1) podemos obtener también la aceleración del c.m.
Como A(y1)=A(y2)=πR2 y la masa de la arena es M=ρ πR2L
Reloj de arena de forma cónica
La posición yc centro de masa de una figura cónica de revolución alrededor del eje Y se calcula mediante la fórmula
Para integrar se ha de relacionar x e y
La integral es inmediata
El denominador es el volumen del tronco de altura h. Cuando h=H tenemos el centro de masas de un cono macizo de radio R y altura H
El denominador de yc es el volumen del cono πR2H/3 Calculamos la posición del centro de masas de cada unas de las dos porciones de arena: un tronco de cono y de un cono invertido, respecto del origen situado en el vértice común de ambos conos.
Velocidad del c.m. Derivando con respecto del tiempo obtenemos la velocidad del c.m.
Aceleración del c.m. Derivando respecto del tiempo obtenemos la aceleración del c.m.
La aceleración del c.m. es positiva y tiende a infinito cuando h→H, es decir, cuando se agota la arena de la parte superior. Podemos calcular también la aceleración del c.m. mediante la expresión (1) obtenida en el apartado descripción
Para un reloj de arena formado por dos conos iguales unidos por sus vértices,
por lo que
La masa total de arena es
La aceleración del c.m. es
Altura de la arena en el recipiente cónico inferior. El flujo f de arena es constante, al cabo de un cierto tiempo t, la arena llena el volumen V=f·t/ρ de un tronco de cono de altura h. Ya hemos calculado la fórmula del volumen de un tronco de cono.
Conocido el radio de la base R del cono y su altura H, tenemos que resolver una ecuación cúbica, para hallar la altura h del tronco de cono, en el instante t.
Esta ecuación se resuelve por procedimientos numéricos en el programa interactivo Ejemplo
En un instante dado t la altura h del tronco de cono es de 0.20 m. Calcular el instante t, la posición del c.m. y la diferencia de fuerzas ΔF=Mac que señala la balanza.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza
La diferencia es ΔF=N-Mg=Mac La balanza mide esta diferencia. Al principio cuando el reloj está parado ΔF=0, pero luego, se incrementa hasta que tiende (teóricamente) a infinito cuando deja de fluir la arena procedente del recipiente cónico superior. Vemos como el c.m. del sistema, señalado por un punto de color rojo, desciende a medida que cae la arena del recipiente cónico superior.
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Shen K. Y., Scott B. The hourglass problem. Am. J. Phys. 53 (8) August 1985, pp. 787-788.
El reloj de arena
(1)
