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Estática de fluidos Ecuación fundamental Paradoja hidrostática Densidad relativa de un líquido Prensa hidráulica Medida de la presión atmosférica Dos tubos en forma de U
Ciclo de histéresis |
 Medida
de la aceleración horizontal de un vehículoMedida de la aceleración de un ascensor con una máquina de Atwood
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Un tubo en forma de U conectado a un recipiente que contiene un gas, se utiliza habitualmente para medir la presión del gas. En esta página, vamos a ver que también se puede emplear para medir la aceleración de un vehículo o la velocidad angular de rotación de una plataforma.
Medida de la aceleración horizontal de un vehículoCundo un tubo en forma de U de sección uniforme S que está parcialmente lleno con líquido de densidad ρ, hasta una altura h, viaja en un vehículo que experimenta una aceleración a se produce una diferencia de alturas del líquido en los dos brazos verticales del tubo. En este apartado, vamos a relacionar la diferencia de alturas con la aceleración del vehículo.
Observador inercial Supongamos que la distancia entre los brazos verticales del tubo, o la longitud del brazo horizontal es L, y que el diámetro del tubo es pequeño en comparación con dicha separación. Cuando el vehículo se desplaza con aceleración a, hacia la derecha, la altura del líquido
Desde el punto de vista del observador inercial O, la masa ρSL del líquido contenido en el brazo horizontal se mueve con aceleración a. La resultante de las fuerzas que actúan sobre dicha porción de líquido son:
La segunda ley de Newton se escribe (ρSL)a= ρS(h+z)g- ρS(h-z)g
La elevación z del líquido es directamente proporcional a la aceleración a, y es independiente de la densidad ρ y de la sección S del tubo. Observador no inercial
Para el observador que viaja en el vehículo, el líquido en el manómetro está en equilibrio bajo la acción de las siguientes fuerzas:
(ρSL)a+ρS(h-z)g=ρS(h+z)g
ActividadesUn vehículo, se mueve a lo largo del eje X. Parte del reposo y acelera a1 durante los 50 primeros metros de su recorrido. Viaja con velocidad constante durante otros 50 m, y finalmente, frena (aceleración -a2) hasta que se detiene. El programa interactivo, genera dos números aleatorios que representan las aceleraciones a1 y a2.
Se pulsa el botón titulado Empieza.
El programa interactivo proporciona, la velocidad v y la posición x del vehículo en cada instante t.
Se compara los resultados con los proporcionados por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta. Ejemplo:
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Medida de la aceleración de un ascensor con una máquina de AtwoodEn el apartado anterior, hemos introducido la fuerza de inercia que actúa en el brazo horizontal del manómetro para un observador que se mueve con el vehículo. Comenzamos describiendo el comportamiento de una máquina de Atwood que cuelga del techo de un ascensor que se pone en marcha hacia arriba con aceleración a’, como ejemplo que explica el principio de equivalencia que emplearemos en el siguiente apartado.. Observador inercial
En la figura, se muestra una máquina de Atwood vista por un observador inercial. Las fuerzas sobre cada uno de los bloques de masas m1 y m2 son;
Supondremos que la polea es ideal y tiene un momento de inercia despreciable. La aceleración de los bloques es a, pero como el ascensor se mueve hacia arriba con una aceleración a’, la aceleración del bloque de masa m2 es a2=a’-a y la del bloque de masa m1 es a1=a’+a. Aplicamos la segunda ley de Newton
T-m2g=m2(a’-a) Despejamos la aceleración a en el sistema de ecuaciones.
Esta es la aceleración que mide un observador situado en el ascensor. Las aceleraciones de cada uno de los bloques que mide el observador inercial son
Observador no inercial Los bloques se mueven con aceleración a
Las fuerzas sobre cada uno de los bloques son:
Las ecuaciones del movimiento son
m2g+m2a’-T=m2a Despejamos la aceleración a medida por el observador que viaja en el ascensor
En el interior de un ascensor que se mueve con aceleración a', la aceleración de la gravedad efectiva es g’=g+a’ Midiendo el tiempo t que tardan los bloques en desplazarse una distancia x partiendo del reposo, determinamos la aceleración a,
Conocidas las masas m1 y m2 de los bloques despejamos la aceleración a’ del ascensor.
Medida de la aceleración de un ascensor con un manómetro
La presión en el extremo izquierdo A, es debida a una columna de fluido de altura d+h+z. pA=ρ(g+a’)(d+h-z) Siendo (g+a’) la aceleración de la gravedad efectiva en un ascensor que se mueve con aceleración a’. La presión en el punto B, es debida a la presión p del gas, más la de una columna de fluido de altura d-z. pB=p+ρ(g+a’)(d+z)=ρgh+ρ(g+a’)(d+z) Como el líquido está en equilibrio, las presiones pA=pB
La elevación z del líquido en un brazo del tubo no es proporcional a la aceleración a’ del ascensor. En la figura, se representa
Esta figura es válida para cualquier dimensión del instrumento de medida, siempre que el volumen V del recipiente de aire sea suficientemente grande para que los cambios en la altura de la columna de líquido no afecten de forma apreciable a la presión p dentro de dicho recipiente. Midiendo z en el manómetro, se va a la gráfica, y se lee la abscisa a’/g que corresponde a la ordenada z/h. De este modo, se calcula de forma aproximada la aceleración a’ del ascensor. ActividadesUn ascensor, se mueve a lo largo del eje X. Parte del reposo y acelera a1 durante los 5 primeros metros de su recorrido. Viaja con velocidad constante durante otros 5 m, y finalmente, frena (aceleración -a2) hasta que se detiene. El programa interactivo, genera dos números aleatorios que representan las aceleraciones a1 y a2.
Se pulsa el botón titulado Empieza.
El programa interactivo proporciona, la velocidad v y la posición x del ascensor en cada instante t.
Se compara los resultados con los proporcionados por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta. Ejemplo:
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Medida de la velocidad angular de rotación de una plataforma
Observador no inercial Para el observador no inercial situado en la plataforma, el líquido está en equilibrio. Las fuerzas que actúan sobre cada una de las porciones de líquido son:
A medida que incrementamos la velocidad angular de rotación ω, la altura z de líquido por encima de la de equilibrio h, en el brazo vertical más alejado del eje de rotación, va creciendo proporcionalmente ω2, y decrece en el brazo que coincide con el eje. Cuando z=h, desaparece el líquido en este brazo vertical. La velocidad angular ωmáx vale
Esta es la velocidad angular máxima que puede medir el manómetro. El comportamiento de un líquido en el tubo en U que gira alrededor de un eje es bastante complejo y será estudiado en detalle en la página titulada “Histéresis en un tubo en forma de U que gira alrededor de un eje“
ActividadesUna plataforma gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular ω. El programa interactivo, genera un número aleatorio que representa la velocidad angular de rotación en rad/s.
Se pulsa el botón titulado Empieza.
Se compara el resultado con el proporcionado por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta. Ejemplo: Cuando la plataforma está en reposo, la altura del líquido en los dos brazos verticales es h=25 cm. Cuando gira con velocidad angular ω, la altura del líquido en el brazo que coincide con el eje de rotación es 14.3 cm z=25-14.3=10.7 cm
Obtenemos también, la velocidad angular de rotación ω midiendo el tiempo t que tarda la plataforma o el tubo en dar n vueltas completas. 2πn=ω·t En este ejemplo, para completar cinco vueltas ha empleado un tiempo de 7.68 s.
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Sutton R. M. Some dynamic applications of liquid manometers. Am. J. Phys. 3 (1935), pp. 77-81
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