Oscilaciones

Osciladores acoplados

Dos acoplados

Tres acoplados

Cadena monoatómica

Modos normales
de vibración

Cadena diatómica

Varilla que pende 
 de dos muelles

Péndulo de Wilberforce

El péndulo doble

Péndulo-muelle

De las oscilaciones
a las ondas

Péndulos no acoplados
de distinta longitud

Ecuaciones del movimiento

Modos normales de vibración

Estudio energético

Actividades

Experiencia en el aula

Una experiencia con osciladores acoplados que se realiza en el aula suele sorprender a los estudiantes. Consiste en una cuerda que se sujeta por sus extremos situados a la misma altura. Se atan dos péndulos iguales, a dos puntos simétricos de la cuerda, tal como se indica en la figura. Se desplaza uno de los péndulos, por ejemplo el de color rojo, de su posición de equilibrio y se suelta. El péndulo empieza a oscilar pero su amplitud disminuye con el tiempo, el otro péndulo de color azul que estaba inicialmente en reposo, empieza a oscilar con una amplitud que aumenta.

Al cabo de un cierto tiempo, el péndulo rojo se para momentáneamente, y el péndulo azul oscila con la máxima amplitud. Luego, se cambian los papeles, el péndulo azul disminuye su amplitud con el tiempo, y el péndulo rojo va aumentando su amplitud.

Se analiza la situación desde el punto de vista energético, cómo la energía fluye de un péndulo al otro a través del acoplamiento. Si el acoplamiento es débil, como es éste el caso, la suma total de las energías de los dos péndulos debe ser constante.

Ecuaciones del movimiento

Para estudiar un sistema formado por dos osciladores acoplados, vamos a tomar como modelo el sistema formado por dos partículas iguales de masa m situadas en los extremos de dos muelles de idéntica constante elástica k. El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante k_c, tal como se puede ver en la figura.

• Sobre la partícula de la izquierda, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –kx₁, y una fuerza hacia la derecha debido a la deformación del muelle central k_c(x₂-x₁), suponemos que x₂ es mayor que x₁.

• Sobre la partícula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –kx₂ y otra fuerza hacia la izquierda debido a la deformación del muelle central –k_c(x₂-x₁).

El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partículas.

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, la ecuación diferencial de un  MAS.

Dos movimientos armónicos simples de frecuencias

Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente

y_a=x₁+x₂=y_0a sen(w_at+j_a)

y_b=x₁-x₂=y_0b sen(w_bt+j_b)

Donde las amplitudes y_0a y y_0b y las fases iniciales j_a y j_b están determinadas por las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de cada una de las partículas.

Despejando x₁ y x₂ de las dos ecuaciones anteriores tenemos

Condiciones iniciales

En el instante t=0, las posiciones iniciales de las partículas son respectivamente x₀₁ y x₀₂. Las velocidades iniciales son cero.

Las ecuaciones se transforman después de algunas operaciones en

Modos normales de vibración

El primer modo normal de vibración de frecuencia w_a se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en fase x₀₁ es igual a x₀₂. El muelle central no sufre ninguna deformación y por tanto, no ejerce ninguna fuerza sobre las partículas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas.

El segundo modo normal de frecuencia w_b se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en oposición de fase x₀₁ =- x₀₂. Las ecuaciones del movimiento de cada oscilador se reducen a las siguientes.

Simulación de la experiencia en el aula

Supongamos que x₀₂ es cero, tal como se hace en la demostración de aula. Las ecuaciones del movimiento de las partículas se pueden escribir de forma más simple usando las relaciones trigonométricas cosA+cosB y cosA-cosB.

Cuando la amplitud de un oscilador varía con el tiempo, se denomina amplitud modulada. La amplitud del primer oscilador x₀₁ cos(w_a-w _b )/2 es una función coseno que está adelantada p/2 respecto de la amplitud modulada del segundo oscilador, que es una función seno. Debido a la diferencia de fase entre las dos amplitudes modulantes hay un intercambio de energía entre los dos osciladores. Durante un cuarto de periodo modulante, la amplitud de un oscilador disminuye y la del otro aumenta, dando lugar a una transferencia de energía del primero al segundo. Durante el siguiente cuarto de periodo, la situación se invierte y la energía fluye en dirección opuesta. El proceso se repite continuamente.

Estudio energético

Calculemos la energía total del sistema, la suma de las energías cinética y potencial. Tenemos la energía cinética de cada una de las partículas, la energía potencial elástica del muelle izquierdo que se deforma x₁, del muelle derecho que se deforma x₂, y del muelle central que se deforma x₂-x₁.

Una vez agrupados los términos, el primer paréntesis depende solamente de x₁, y puede llamarse energía del primer oscilador, el segundo término depende solamente de x₂, y puede llamarse energía del segundo oscilador. El último término, que depende de x₁ y x₂ se denomina energía de acoplamiento o de interacción. Este término es el que describe el intercambio de energía entre los dos osciladores.

Actividades

Se introduce:

• la constante elástica de los dos osciladores, en el control de edición titulado k de los muelles.
• la constante elástica del muelle central, en el control de edición titulado k del acoplamiento
• la masa de las partículas se ha tomado como la unidad.
   
• la posición inicial de la partícula de la izquierda (una cantidad menor o igual que la unidad), en el control de edición titulado Posición inicial de 1
• la posición inicial de la partícula de la derecha, en el control de edición titulado Posición inicial de 2.
• las velocidades iniciales se toman como cero.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Modos normales de vibración

• Primer modo normal de oscilación: introducir la misma cantidad, por ejemplo, 1.0 en los controles de edición titulados Posición inicial 1 y Posición inicial 2.

• Segundo modo normal: introducir la misma cantidad pero con signos opuestos en dichos controles de edición, por ejemplo, 1.0 en Posición inicial 1, y –1.0 en Posición inicial 2.

Simulación de la práctica de aula

• Introducir en el control de edición titulado Posición inicial 1, la cantidad de 1.0, e introducir en el control de edición titulado Posición inicial 2, la cantidad de 0.0.

• Observar, las oscilaciones de las dos partículas, medir el tiempo que tarda un oscilador desde que su amplitud se hace cero hasta que vuelve a hacerse cero. En la parte superior izquierda de la ventana del applet se da el valor del tiempo, y en la parte inferior se representa el desplazamiento de cada partícula en función del tiempo. Usar los botones Pausa y Paso, para aproximarse a los instantes en los que el oscilador elegido se detiene momentáneamente.

• Calcular las frecuencias angulares w_b y w_a de los dos modos de vibración y la frecuencia angular de la amplitud modulada (w_a-w_b )/2, el periodo y el semiperiodo. Comparar el resultado obtenido con las medida efectuada, ¿coinciden?.