Oscilaciones |
Osciladores acoplados
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Equilibrio | |
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En esta página, estudiamos otro ejemplo de oscilaciones acopladas, consistente en una varilla delgada que cuelga de dos muelles elásticos, tal como se muestra en la figura. El centro de masas se mueve hacia arriba y hacia abajo y experimenta oscilaciones rotacionales alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.
Este ejemplo, es similar al péndulo de Wilberforce, pero con algunas notables diferencias:
EquilibrioLa varilla delgada de masa m kg y longitud L pende de dos muelles elásticos verticales de constantes k1 y k2 y de longitudes l01 y l02 sin deformar, situados a una distancia d1 y d2 a uno y otro lado del c.m de la varilla
Cuando la varilla está en equilibrio en posición horizontal. La resultante de las fuerzas sobre la varilla debe ser cero y el momento resultante respecto del c.m. debe ser cero. k1x1+ k2x2=mg Despejamos x1 y x2
Ecuaciones del movimientoComo caso del péndulo, supondremos que el sistema realiza pequeños desplazamientos respecto de la posición de equilibrio para que las ecuaciones del movimiento sean lineales. Supongamos que en el instante t, el c.m. de la varilla se ha elevado y sobre la posición de equilibrio, y ha girado un ángulo θ, respecto de la posición horizontal.
La ecuación del movimiento de traslación del c.m es
La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m. es
Ic=mL2/12 es el momento de inercia de la varilla de longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m. Relacionamos los desplazamientos y1 e y2 de los puntos de enganche de los muelles con la varilla con el desplazamiento y del cm. y con el ángulo θ girado por la varilla que supondremos de nuevo, que es pequeño, para que las ecuaciones del movimiento sean lineales y1=y-d1·θ Las dos ecuaciones diferenciales del movimiento las escribimos en términos del desplazamiento y del c.m. y del ángulo girado θ por la varilla.
Definimos los siguientes parámetros
Las dos ecuaciones se escriben en términos de dichos parámetros, del siguiente modo
Para eliminar el ángulo θ, calculamos la derivada segunda de la primera ecuación diferencial
que con las otras dos, da lugar la ecuación diferencial de cuarto orden en y
Ensayamos una solución de la forma y=Asen(ωt)+Bcos(ωt) o bien, y=Csen(ωt+φ) Calculamos la derivada segunda y la derivada cuarta de y y las introducimos en la ecuación diferencial de cuarto orden, obteniendo la siguiente ecuación bicuadrada en ω.
cuyas raíces reales son
La forma general del ángulo y en función del tiempo t es una combinación lineal de los dos modos normales de vibración y (t)=Asen(ω1t)+Bcos(ω1t)+Csen(ω2t)+Dcos(ω2t) La velocidad del c.m. es
Para calcular el ángulo θ(t) girado por la varilla en función del tiempo, se introduce x(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe el movimiento del c.m. de la varilla
resultando
La velocidad de rotación de la varilla es
Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D. Desplazamos el cm de la varilla y0 y la giramos un ángulo θ0 y a continuación la soltamos. La velocidad inicial es dy/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0. Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones
Despejamos A, B, C, y D A=C=0
Las expresiones de la posición x y θ y velocidad dx/dt y dθ/dt en función del tiempo son
Modos normales de vibración
Oscilaciones no acopladasCuando β=0 las oscilaciones no están acopladas, se debe cumplir para ello que k1·d1=k2·d2 Las ecuaciones del movimiento del c.m. de la varilla y de la rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m. son
y=A1sen(ωyt)+B1cos(ωyt) las constantes A1, B1, A2, B2 se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, y=y0, dy/dt=0, θ=θ0, dθ/dt=0 y=y0cos(ωyt) Este mismo resultado podemos obtenerlo a partir de las soluciones del sistema de dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales especificadas, al final del apartado “Ecuaciones del movimiento” Cuando β→0, ω1→ωy, y ω2→ωθ, los coeficientes D→0, B→y0 El movimiento del c.m. de la varilla es un MAS de frecuencia angular ωy. y=y0cos(ωyt) Algo más complicado es obtener la ecuación del movimiento de rotación θ(t). Los coeficientes de cos(ω1t) y de cos(ω2t) valen respectivamente
La rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m. es un MAS de frecuencias ωθ θ=θ0cos(ωθt)
Frecuencias igualesPara que las frecuencias angulares sean iguales ωy=ωθ=ω se debe cumplir que
Como Ic=mL2/12, se cumple esta igualdad si
siendo L la longitud de la varilla Las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración tienen una expresión mucho más simple
Es importante analizar el caso de que θ0=0. Se desplaza la varilla hacia arriba o hacia abajo horizontalmente y0 y luego, se suelta. Los coeficientes B=D=y0/2. El movimiento del c.m. de la varilla y la rotación de la varilla se describen mediante las ecuaciones
Balance energéticoLa energía del sistema está compuesta por los siguientes términos (véase la primera figura de esta página):
Como el sistema es conservativo, la suma de todas estas energías es constante.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de sistema, o la representación gráfica de:
Para comenzar una nueva "experiencia", se pulsa el botón titulado Inicio En la parte superior derecha del applet, se proporciona el valor de la energía total del sistema, que deberá permanecer constante. |
Pulsar el botón Inicio, arrastrar con el puntero del ratón los pequeños círculos de color rojo
Karioris F. G., Mendelson K. S., A novel coupled oscillation demostration. Am. J. Phys. 60 (6) June 1992, pp. 508-513
Varilla que pende
de dos muelles
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