Dinámica celeste

Cálculo de la aceleración de la gravedad en el polo

Una superficie equipotencial

Fórmula internacional de la aceleración de la gravedad (1967)

Referencias

La forma de la Tierra y de los otros planetas no es la de una esfera sino la de esferoide achatado por los polos debido al movimiento de rotación alrededor de sus ejes. En esta página, se establece la relación entre los radios ecuatorial y polar por dos procedimientos distintos.

La dirección de la plomada

Debido a la rotación de la Tierra, la dirección radial no coincide con la dirección vertical, o con la dirección de la plomada, que es una cuerda de la que pende un trozo de plomo que utilizan los albañiles para comprobar la verticalidad de las paredes que construyen.

La Tierra considerada como una esfera de radio R.

Supongamos una masa puntual m que cuelga de una cuerda, situada en un lugar del hemisferio norte cuya latitud es λ. La Tierra gira sobre su eje con velocidad angular constante ω. La partícula describe una circunferencia de radio R·cos λ,  siendo R el radio de la Tierra para un observador inercial

La resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula deberá se igual al producto de la masa por la aceleración normal a_n=ω²R·cos λ, y estará dirigida hacia el centro de la circunferencia que describe la partícula.

Las fuerzas  que actúan sobre la partícula son:

• La fuerza de atracción de la Tierra, que tiene dirección radial y está dirigida hacia su centro, y cuyo módulo es

• La tensión T de la cuerda que sujeta a la partícula, y que forma un ángulo φ con la dirección radial, tal como se aprecia en la figura.

La partícula está en equilibrio a lo largo del eje Y.

T·sen(λ+φ)-mg₀·senλ=0

La partícula tiene una aceleración a_n a lo largo del eje X.

Tcos(λ+φ)- mg₀·cosλ=-mω²R·cos λ

Eliminando T en el sistema de dos ecuaciones, obtenemos

       (1)

donde hemos tomado R=6.37·10⁶ m, ω=2π/(23.93·60·60) rad/s, y g₀=9.81 m/s²

Después de algunas operaciones trigonométricas, despejamos el ángulo φ que forma la plomada con la dirección radial

Como α es pequeño frente a la unidad, y el ángulo φ es pequeño podemos escribir

A la latitud correspondiente al norte de España, algo más de λ=43º, tenemos que φ=0.099º.

La forma de la Tierra

La dirección de la plomada es la misma que la de la aceleración de la gravedad efectiva g. La forma de la superficie de Tierra será tal que sea perpendicular a g en cada uno de sus puntos.

La tangente a la superficie de la Tierra en un punto de latitud λ es perpendicular a la dirección de la plomada o dirección vertical en dicho punto. Recordando que la pendiente de la tangente a una curva y=f(x) en x₀ es el valor de la derivada dy/dx de la función en dicho punto. Como vemos en la parte izquierda de la figura

En la parte derecha de la figura, tenemos que tanλ=y/x

A partir de la expresión (1), obtenemos la ecuación diferencial que describe la forma de la superficie de la Tierra

Integramos esta ecuación

(1-α)x²+y²=c

donde c es una constante de integración. Determinamos los radios ecuatorial a, y polar b teniendo en cuanta que para y=0, x=a, y para x=0, y=b.

La ecuación de la superficie de la Tierra es la de una elipse

El aplastamiento de la Tierra es el cociente

Los valores medidos de los dos radios ecuatorial y polar de la Tierra son respectivamente.

a=6 378 137 m, b=6 356 752 m 

lo que da un aplastamiento de f=3.35·10^-3 que es aproximadamente el doble que el que hemos obtenido anteriormente.

Para explicar la discrepancia se ha de tener en cuenta que la ley de la Gravitación Universal

se aplica a dos masas puntuales M y m separadas una distancia r, o a una distribución esférica de masa M y una partícula de masa m situada a una distancia r mayor que el radio de la esfera. En el caso de que el cuerpo sea de una forma distinta a una esfera, hay que calcular la fuerza que produce cada uno de los elementos de volumen del cuerpo extenso sobre la partícula considerada, las componentes de dichas fuerzas y la resultante, como veremos en el siguiente apartado.

Para una Tierra con forma de esferoide, se desarrolla la energía potencial gravitatoria en armónicos esféricos (véase referencia 1), para calcular g₀ en función de la latitud λ y el ángulo que forma con la dirección radial.

Cálculo de la aceleración de la gravedad en el polo

La aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r de la masa puntual M se define como la fuerza sobre la unidad de masa.

g=F_g/m

En este apartado, mostraremos la dificultad que presenta el cálculo de la aceleración de la gravedad g en el polo producida por una distribución uniforme de masa en forma de elipsoide de revolución de semiejes horizontal a, y vertical b, siendo a>b.

Si Z es el eje que pasa por los polos, por simetría la aceleración de la gravedad en el polo tendrá la dirección del eje Z y sentido hacia el centro del elipsoide.

Para calcular su módulo g, dividamos el elipsoide en discos de radio y y de espesor dz. Calculemos la intensidad del campo gravitatorio en el punto de coordenadas (0, 0, b) producido por cada uno de los discos

El primer paso, consiste en calcular el campo producido por el anillo de radio x de anchura dx y de espesor dz en el polo, situado a una distancia b-z de dicho anillo.

Sea ρ es la densidad constante de la distribución uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·2πx·dx·dz. El campo producido por esta masa es

Por simetría, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de dicho campo se anulan de dos en dos, (flechas de color rojo en la figura del centro) quedando solamente la componente Z

Integramos respecto de la variable x, entre los límites 0 e y para calcular el campo total producido por el disco de radio y y de espesor dz.

Relacionamos la variable y y z para integrar respecto de la variable z entre los límites –b y b La ecuación del elipse de semiejes a y b es

La aceleración de la gravedad en el polo se obtendrá integrando

Dejamos al lector la resolución de esta integral.

Una superficie equipotencial

Un objeto situado sobre la superficie de la Tierra a una latitud λ, describe un movimiento circular de radio x=r·cosλ tal como se muestra en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre dicho objeto desde el punto de vista de un observador no inercial que se mueve con la Tierra son:

• La fuerza de atracción gravitatoria, F_g que tiene dirección radial, y sentido hacia el centro de la Tierra y vale

siendo r la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra, M la masa de la Tierra y G la constante de la gravitación..

• La fuerza centrífuga, F_c está dirigida hacia el centro de de la circunferencia que describe el objeto.

F_c=mω²x

siendo ω la velocidad angular constante de rotación de la Tierra.

La resultante de ambas fuerzas es la tensión T de la cuerda que sujeta la partícula de masa m.

Fuerzas conservativas. Energías potenciales

La fuerza de atracción F_g es conservativa y su energía potencial es

De nuevo, se supone que la Tierra es aproximadamente esférica, y no se tiene en cuenta el abultamiento producido en el ecuador como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra.

La fuerza centrífuga depende únicamente de la distancia x al eje de rotación es por tanto, una fuerza conservativa, cuya energía potencial es

Tomando el nivel cero de la energía potencia en el eje de rotación x=0.

La energía potencial total es la suma de ambas contribuciones

La forma de la Tierra es la de una superficie equipotencial, ya que la dirección vertical o la dirección de la intensidad de la gravedad efectiva g es perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto de dicha superficie.

Sea r=b, cuando λ=π/2, la energía potencial vale Ep=-GMm/b. Así que el valor de b determina la superficie equipotencial que describe la forma de la superficie de la Tierra.

Esta no es la ecuación de una elipse, pero puede aproximarse a ésta suponiendo que a es un poco mayor que b.

Sea r=a, cuando λ=0. La raíz de la ecuación cúbica determina a en función de b, G, M y ω.

Conocido b podemos hallar a empleando un procedimiento de cálculo numérico.

En la siguiente tabla, se proporcionan los datos relativos a la masa en kg, periodo de rotación en horas, y los valores de los radios a (ecuatorial) y b (polar) de algunos planetas del Sistema Solar.

Fuente: segundo artículo citado en la referencia 2

Con el dato de G=6.67·10^-11 Nm²/kg². Para la Tierra, la velocidad angular de rotación es

Para facilitar el cálculo en el ordenador, expresamos la distancia en unidades de10⁶ m. La ecuación que nos permite calcular a a partir del valor observado de b=6.356 es

a³-23594.12a+149964.23=0

Para calcular las raíces de esta ecuación cúbica sugerimos dos procedimientos:

Raíces de una ecuación cúbica

x³+ax²+bx+c=0

a=0, b=-23594.12, c=149964.23

Se calcula

Si R²<Q³ como este es el caso, se calcula

Las raíces de la ecuación cúbica son:

Véase Numerical Recipes in C: The art of scientific computing. Cambridge University Press (1988-1992), pp. 183-185.

Procedimiento iterativo 

Esta ecuación se puede transformar en esta otra equivalente

para hallar la raíz por el método de iteración partiendo de un valor inicial próximo a b, obteniendo el valor a=6.367.

Este pequeño programa hecho en Java calcula el radio ecuatorial a de la Tierra por el método de iteración. Véase Curso de Procedimientos Numéricos en Lenguaje Java

public class Planeta{
  public static void main(String[] args) {
        System.out.println(raiz(6.0));
    }

   static double raiz(double x0){
        double x1;
        while(true){
            x1=(x0*x0*x0+149964.23)/23594.12;
            if(Math.abs(x1-x0)<0.001)   break;
            x0=x1;
        }
        return x0;
   }
}

Fórmula internacional de la aceleración de la gravedad (1967)

La aceleración de la gravedad a nivel del mar para una latitud λ está dada por la fórmula

g=9.780 318·(1+0.005 302 4·sen²λ-0.000 005 9· sen²2λ) m/s²

Esta fórmula tiene en cuenta la rotación de la Tierra y que la Tierra no es una esfera perfecta, sino que está achatada en los polos.

Cuando nos elevamos una altura h sobre el nivel del mar hay que introducir una corrección, que disminuye el valor de g a nivel del mar.

donde g₀=9.832 m/s² es la aceleración de la gravedad a nivel del mar en los polos, R=6371 km es el radio medio de la Tierra.

Δg= 3.086·10^-6 ·h m/s²

Hay otros términos correctores que tienen en cuenta si el terreno que rodea a la localidad de observación es montañoso o plano. Véase la página 831 del artículo (Nelson, 1981)

Referencias

Mohazzabi P, James M. Plumb line and the shape of the earth. Am. J. Phys. 68 (11) November 2000, pp. 1038-1041

Iona M. Why is g larger at the poles?. Am. J. Phys. 46 (8) August 1978, pp. 790-791.

Nelson R. A. Determination of the acceleration due to gravity with the Cenco-Behr free-fall apparatus. Am. J. Phys. 49 (9) September 1981, pp. 829-833