Dinámica celeste |
El Sistema Solar Medida de la velocidad de la luz. La luna Máquina de Atwood
Péndulo accionado por fuerzas de marea El fenómeno de las mareas Aceleración de la gravedad Viaje por el interior de la Tierra Modelo del interior de la Tierra Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (I) Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (II) Choque de un meteorito con la Tierra Medida de G La forma de la Tierra |
Ecuación del movimiento | |
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Ecuación del movimiento
Sea un péndulo simple de longitud l, de cuyo extremo cuelga una masa puntual m. Supondremos que se mueve en el vacío y que está suspendido de un soporte rígido por una cuerda inextensible y de peso despreciable. Cuando el péndulo forma un ángulo θ con la dirección radial, la fuerza de atracción entre la Tierra y la masa puntual m es
La componente Ft de dicha fuerza F a lo largo de la dirección tangencial es
Aplicamos el teorema del seno al triángulo de la figura
para expresar la componente Ft en función del ángulo θ
La segunda ley de Newton, afirma que la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial, at=l·d2θ/dt2.
con β=l/R y g=GM/R2, aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimiento numéricos con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0.
Periodo del pénduloLa fuerza de atracción entre la Tierra y la masa puntual m es conservativa. la energía total permanece constante Igualamos la energía en el instante t=0, cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio estable un ángulo θ0, a la energía en el instante t, cuando la posición angular del péndulo es θ, y su velocidad angular dθ/dt.
Despejamos la velocidad angular dθ/dt.
Cuando el péndulo alcanza la desviación máxima q =q0 partiendo de la posición de equilibrio q =0, ha empleado un tiempo igual a un cuarto de periodo. El periodo es
donde γ=4β(1+β) Si θ0/2 es pequeño, se puede hacer la siguiente aproximación (1+x)-1/2≈1-x/2
El periodo P es aproximadamente
Esta integral elíptica ha aparecido al calcular el periodo de un péndulo. Sustituyendo
Cuando el péndulo alcanza la desviación máxima q=q0, la variable j=p/2
donde P0 es el periodo de un péndulo simple de longitud l. Las integrales elípticas están tabuladas, véase Puig Adam, Calculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972, pág 97. Si comparamos esta fórmula con la del periodo de un péndulo para cualquier amplitud, observamos que el efecto de la esfericidad de la Tierra es la de reducir el periodo proporcionalmente al factor raíz cuadrada de 1/(1+β). Ejemplo: Sea β=l/R=0.5, la desviación inicial del péndulo q0=10º
El programa interactivo de la página titulada "El péndulo", nos proporciona el valor del periodo del péndulo P/P0 para la amplitud q0=10º y vale 1.0019. Como el efecto de la esfericidad de la Tierra es la de reducir el periodo de este péndulo proporcionalmente al factor raíz cuadrada de 1/(1+β). El periodo del péndulo es
La resolución de la ecuación diferencial por procedimientos numéricos nos proporciona el valor P=49.33 min
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Se observa el movimiento del péndulo. Una flecha indica la magnitud y dirección de la componente tangencial de la fuerza de atracción entre la Tierra y la masa puntual. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos:
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Burko L. M. Effect of the spherical Earth on a simple pendulum. Eur. J. Phys. 24 (2003), pp. 125-130
Periodo de un péndulo
