Choque de dos esferas iguales

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Dinámica

Colisiones
Carro que dispara
un proyectil
Caída libre y
sucesivos rebotes
marca.gif (847 bytes)Choque de dos 
 esferas iguales
Choques frontales
Choques frontales
elásticos
Choques frontales
verticales
Choque inelástico 
de duración finita
Péndulo balístico
No se conserva el
momento lineal
Choque entre una 
partícula y un bloque
unido a un muelle
Medida de la veloci-
dad de una bala 
Choques bidimen
sionales
Conservación del 
momento lineal

Fundamentos físicos

Sucesivos choques de las dos esferas

Actividades

 

En esta página, se estudia el choque de dos esferas iguales que cuelgan de sendos hilos inextensibles y de masa despreciable.

Las esferas se separan de su posición de equilibrio, ángulos iguales, se sueltan y se observa cómo decae la amplitud de sus oscilaciones como consecuencia de los choques.

 

Fundamentos físicos

Movimiento de las esferas

La descripción del movimiento de cada una de las esferas es similar al de un péndulo formado por una masa puntual m que cuelga de un hilo inextensible de longitud l.

La ecuación del movimiento es

m·at=-mg·senθ

Para determinar la posición angular θ de cada péndulo (el ángulo que forma con la vertical) en función del tiempo, se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos en dos etapas con las siguientes condiciones iniciales:

  • Movimiento hacia arriba: en la posición θ=0, la velocidad angular dθ/dt=v/l, siendo v la velocidad de la esfera después del choque.
  • Movimiento hacia abajo: en la posición θ=θ0 de máximo desplazamiento, la velocidad angular es dθ/dt=0

Balance energético

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva

v2=2gl(cosθ-cosθ0)

La velocidad u de cada una de las esferas justamente antes del choque, cuando θ=0 es

u2=2gl(1-cosθ0)

Choque de dos esferas

Las velocidades de las esferas v1=-v y v2=v después del choque están relacionadas con las velocidades u1=u y u2=-u antes del choque mediante

v1-v2=-e(u1-u2)
-2v=-e(2u), 

La velocidad v de las esferas después del choque disminuye ya que el coeficiente de restitución e<1.

v=e·u

 

Sucesivos choques de las dos esferas

En la figura, se muestra:

  • La posición inicial de partida, cuando la velocidad angular inicial es cero.
  • Las dos esferas justamente antes del choque
  • Las dos esferas justamente después del choque
  • La posición final de máximo alejamiento de las esferas, cuando alcanzan la desviación máxima

                              
 
  • Primer choque

En el instante t=0, las esferas se encuentran desviadas de su posición de equilibrio un ángulo θ0, y a continuación, se sueltan. Se van acercando hasta que alcanzan la posición angular θ=0, justamente antes del choque. Su velocidad u0 es

La velocidad v1 de cada una de las esferas justamente después del choque es

v1=e·u0

Las esferas se alejan una de la otra hasta que alcanzan su máxima desviación θ1

La relación entre las desviaciones máximas inicial θ0 y final θ1 es

cosθ1=1-e2+e2·cos θ0

  • Segundo choque

La velocidad u1 de cada una de las esferas justamente antes del segundo choque es la misma que la velocidad v1 de las esferas justamente después del primer choque, por el principio de conservación de la energía.

u1=v1

La velocidad v2 de cada una de las esferas justamente después del choque será

v2=e·u1

Las esferas se alejan una de la otra hasta que alcanzan su desviación máxima θ2

La relación entre las desviaciones máximas inicial θ1 y final θ2 es

cosθ2=1-e2+ e2·cos θ1
cosθ2=1-e4+ e4·cos θ0

  • n choque

La relación entre dos ángulos consecutivos θn y θn-1 de desviación máxima es

cosθn=1-e2+ e2·cos θn-1

La relación entre el el último θn y  el inicial θ0 es

cosθn=1-e2n+ e2n·cos θ0

En vez de medir ángulos, es más cómodo medir la proyección xn del centro de la esfera sobre el eje horizontal X

xn=l·senθn

Balance energético

A medida que las esferas chocan su energía va disminuyendo. La energía inicial de cada una de las esferas es

E0=mg(l-l·cosθ0)

Después de n choques la energía de cada una de las esferas es

En=mg(l-l·cosθn)=mgl·e2n·(1-cosθ0)

En=e2n·E0

Ejemplo

Se desvía cada una de las esferas un ángulo de θ0=90º de la posición de equilibrio

En el siguiente cuadro, se especifica la máxima desviación θn, la proyección en dicha posición  xn del centro de la esfera sobre el eje X, y la energía En.

e=0.8

θ

x/l

E/E0

90º

1.00

1.0

69º

0.93

0.64

54º

0.81

0.41

42º

0.67

0.26

34º

0.55

0.17

27º

0.45

0.11

 

Actividades

Se introduce

  • El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. restitución.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de las dos esferas idénticas que parten de la posición θ0=90º y a continuación se sueltan.

Las esferas se acercan, chocan, se alejan hasta que alcanzan la desviación máxima y así, sucesivamente.

Sobre el eje horizontal, se van marcando las proyecciones del centro de una de las esferas cuando alcanzan la desviación máxima.

En la parte izquierda del applet, se muestra el balance energético:  

  • La energía cinética, la energía potencial, y la suma de ambas.

  • La energía total, se representa mediante un segmento horizontal de color negro.

En la parte superior del applet se proporcionan los datos de

  • El ángulo de desviación de uno de los péndulos en función del tiempo

  • La velocidad angular en función del tiempo, que nos permitirá medir la desviación máxima cuando se hace cero.

  • La energía total E dividida por la energía inicial E0.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.