Dinámica |
Colisiones Carro que dispara un proyectil
Choque de dos esferas iguales Choques frontales Choques frontales elásticos Choques frontales verticales Choque inelástico de duración finita Péndulo balístico No se conserva el momento lineal Choque entre una partícula y un bloque unido a un muelle Medida de la veloci- dad de una bala Choques bidimen sionales Conservación del momento lineal
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En esta página, se presenta un ejemplo interesante que permite al estudiante obtener expresiones para un caso general una vez examinados las dos o tres primeras situaciones. Se trata de un ejercicio de progresiones geométricas, un tema habitual en los cursos de Matemáticas a nivel elemental.
Rebotes en el plano horizontal
Alturas de los sucesivos rebotesSupongamos que una pelota se deja caer desde una altura inicial h. Vamos a calcular las alturas de los sucesivos rebotes.
1.-Primer rebote La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
La velocidad de la pelota después del choque es (en módulo) v1=e·u1 La pelota asciende con una velocidad inicial v1, y alcanza una altura máxima h1 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
2.-Segundo rebote La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
La velocidad de la pelota después del choque es v2=e·u2 La pelota asciende con una velocidad inicial v2, y alcanza una altura máxima h2 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
3.-Rebote n Después del choque n, la altura máxima que alcanza la pelota es hn=e2n·h
Pérdida de energía que experimenta la pelota
La suma de ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…. ΔEn es la energía perdida por la pelota después de n choques. Después de infinitos choques la pelota habrá perdido toda su energía inicial mgh. Vamos a comprobarlo sumando los infinitos términos de una progresión geométrica de razón e2 y cuyo primer término es ΔE1
Tiempo que tarda la pelota en pararse.
El tiempo total tras infinitos rebotes es la suma de t0 y los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 2t0e y cuya razón es e.
Si a la pelota se le proporciona una velocidad inicial horizontal vx. Después de infinitos rebotes se desplaza una distancia horizontal x=vx·t∞ Medida del coeficiente de restitución e y la aceleración de la gravedad g. El tiempo tn que pasa la pelota en el aire entre dos sucesivos choques con el suelo es
Tomando logaritmos ln tn=n·lne+ln(2t0)
Midiendo la ordenada en el origen obtenemos 2t0
conocida la altura h a la que se ha dejado caer inicialmente a la pelota despejamos la aceleración de la gravedad g.
ActividadesSe introduce
Se pula el botón titulado Empieza Ejemplo: Introducimos e=0.90 como coeficiente de restitución
En la parte izquierda del applet, se muestra mediante un diagrama de barras, la energía de la pelota. La energía se conserva entre dos choques consecutivos con el suelo trasformándose la energía cinética (en color azul) en potencial (en color rojo) cuando la pelota sube y en sentido contrario cuando la pelota baja. La energía de la pelota está marcada por líneas de color negro. De esta manera, podemos comparar la energía que se pierde en los sucesivos choques.
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Progresión geométricaUna progresión geométrica se define como aquella sucesión en la que el término n es el producto del término n-1 por un número r denominado razón de la progresión. a0=a Suma de n términos de una progresión geométricaSn=a0+a0·r+ a0·r2+…+a0·rn Multiplicamos la primera igualdad por r y restamos miembro a miembro la segunda menos la primera Sn+1-r·Sn = a0 Teniendo en cuenta que Sn+1=Sn+a0·rn+1, despejamos la suma Sn de n términos de la progresión geométrica
Si r es menor que la unidad, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica se reduce a
Rebotes en un plano inclinadoUna pelota se deja caer verticalmente desde una altura h0 sobre un plano inclinado de pendiente θ. Vamos a estudiar las distintas etapas del movimiento de la de la pelota. Estableceremos un Sistema de Referencia de modo que el eje X esté situado en el plano inclinado, y el eje Y sea perpendicular al mismo. Primera etapa: caída libre
La pelota se deja caer verticalmente desde una altura h0. Parte con velocidad inicial cero, desde la posición x0=-h0·senθ,
Las componentes de la aceleración son ax=g·senθ El movimiento a lo largo de la recta vertical es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados. Las componentes de la velocidad en función del tiempo son vx= g·senθ·t Las coordenadas de la pelota son
La trayectoria es la línea recta y=-x/tanθ La pelota llega al origen x=0, y=0 en el instante
La velocidad con la que llega al origen es vx=
g·senθ·t0 Segunda etapa
La pelota parte del origen x0=0, y0=0, en el instante t0, con una velocidad inicial v0x= g·senθ·t0
Las componentes de la velocidad en función del tiempo son vx=v0x+
g·senθ·(t-t0) Las coordenadas de la pelota son
La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t1.
La posición x1 del punto de impacto es
Las componentes de la velocidad final son vx=g·t0·(1+2e)·senθ Tercera etapa La pelota rebota:
La pelota parte de la posición x1, y1=0 en el instante t1, con una velocidad inicial v1x= g·t0·(1+2e)·senθ Las componentes de la velocidad en función del tiempo son vx=v1x+
g·senθ·(t-t1) Las coordenadas de la pelota son
La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t2.
La posición x2 del punto de impacto es
Las componentes de la velocidad final son vx=g·t0·(1+2e+2e2)·senθ Tercera etapa La pelota rebota:
La pelota parte de la posición x2, y2=0, en el instante t2, con una velocidad inicial v2x= g·t0·(1+2e+2e2)·senθ Las componentes de la velocidad en función del tiempo son vx=v2x+
g·senθ·(t-t2) Las coordenadas de la pelota son
La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t3.
La posición x3 del punto de impacto es
Las componentes de la velocidad final son vx=g·t0·(1+2e+2e2+2e3)·senθ Cuarta etapa La pelota rebota:
La pelota parte de x3, y3=0, en el instante t3, con una velocidad inicial v3x= g·t0·(1+2e+2e2+2e3)·senθ Las componentes de la velocidad de la pelota en función del tiempo son vx=v3x+
g·senθ·(t-t3) Las coordenadas de la pelota son
La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t4.
La posición x4 del punto de impacto es
Las componentes de la velocidad final son vx=g·t0·(1+2e+2e2+2e3+2e4)·senθ Etapa n
Al finalizar la etapa n, la posición de la pelota es
que se alcanza en el instante
Las componentes de la velocidad final son
Después de muchos rebotes (n→∞) Sabiendo que
es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a0=1, y cuya razón es e<1
El valor de t∞ es idéntico al que hemos obtenido para el caso de rebotes en el plano horizontal. Las componentes de la velocidad tienden a
Teniendo en cuenta que
Su demostración no es evidente, por lo que proporcionamos en el cuadro adjunto, el código en lenguaje Java de un pequeño programa que permite obtener el valor numérico aproximado de la serie, para e<1, cuando n es grande pero finito La posición de los sucesivos rebotes en el plano inclinado, alcanza un límite x∞
En la figura, se muestra la variación de la componente Y de la velocidad, al final de cada una de las etapas del movimiento de la pelota. Como vemos vy tiende a cero cuando t→t∞.
En la figura, se muestra la variación de la componente X de la velocidad, al final de cada una de las etapas del movimiento de la pelota. Como vemos vx tiende a un valor límite cuando t→t∞.
En la figura, se muestra la posición xi de la pelota en el momento que rebota en el plano inclinado Como vemos x no crece indefinidamente, sino que tiende a un valor límite x∞ cuando t→t∞.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa los sucesivos rebotes de la pelota en el plano inclinado. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos de la posición y velocidad de la pelota en función del tiempo, referidos a un sistema de Referencia en el que el eje X está en el plano horizontal y el eje Y es perpendicular al mismo Se utilizarán los botones Pausa y Paso, para medir los instantes ti en los que tiene lugar el rebote y las posiciones xi de los mismos a lo largo del plano inclinado. |
Bernstein A. D. Listening to the coefficient of restitution. Am. J. Phys. 45 (1) January 1977, pp. 41-44
Physics challenges for teachers and students. Solutions to October 2004. The Physics Teacher, 42 (2004) pp. S2
Caída libre y
sucesivos rebotes
