Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II)
Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Equilibrio | |
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Dos partículas idénticas cargadas de masa m con cargas q iguales y opuestas se cuelgan de dos hilos inextensibles de longitud d separados inicialmente x0, tal como se muestra en la figura.
Normalmente, la separación de las cargas x es una función continua de la carga de las partículas, q. Al aumentar la carga la separación disminuye. Sin embargo, para cierto valor de la carga qc de las partículas el sistema experimenta una transición discontinua a un nuevo estado de equilibrio en el que la separación x=0.
EquilibrioLas cargas de distinto signo se atraen, acercándose a una distancia x. Los hilos forman un ángulo θ con la vertical.
En el equilibrio
Dividiendo las dos ecuaciones eliminamos la tensión T del hilo
El ángulo θ está relacionado con la separación x entre las partículas, véase la primera figura
Calculamos la separación de equilibrio x, hallando la raíz de la ecuación
EstabilidadEnergía potencial del sistema formado por las dos cargas es la suma de la energía potencial gravitatoria, las cargas se elevan d-d·cosθ, y la energía potencial electrostática, que es negativa por ser la fuerza atractiva.
La posición de equilibrio es estable si la energía potencial es mínima en dicha posición, y es inestable si la energía potencial es máxima. El signo de la derivada segunda de la energía potencial Ep(x) determina si la posición de equilibrio es estable (si es mayor que cero) o inestable (si es menor que cero).
AproximacionesCuando d>>x0, el ángulo θ es muy pequeño y podemos realizar las siguientes aproximaciones que simplifican notablemente los cálculos, tanθ≈senθ≈θ La ecuación que calcula la separación de equilibrio x se convierte en
Tenemos que calcular las raíces de una ecuación cúbica
La energía potencial se aproxima a
A medida que se aumenta la carga q de las partículas, el máximo y el mínimo se acercan, para un cierto valor de la carga qc coinciden en el punto de inflexión
Despejamos x y lo introducimos en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio
Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan x=0. Ejemplo:
Las raíces de la ecuación cúbica
x3-0.2x2+3.276·10-4 =0 cuyas raíces son x1=-0.0362, x2=0.195, x3=0.0447 m La primera no es físicamente posible, la segunda corresponde a un mínimo de la energía potencial (posición de equilibrio estable) y la tercera, corresponde a un máximo (posición de equilibrio inestable). La carga crítica qc y la separación de equilibrio de las cargas es
Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan, su separación x=0. En realidad, las partículas tienen un tamaño y no pueden ocupar la misma posición.
ActividadesSe ha fijado
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Calcular Se representa a las dos partículas en la posición de equilibrio estable. En la parte derecha del applet, se representa la energía potencial en Ep en función de la separación x entre las partículas. Se señala el máximo y el mínimo, si existen. |
Partensky P. D., Partensky M. B..Hanging by a thread. The Physics Teacher, 44 February 2006, pp. 88-91
Equilibrio y
estabilidad (III)
