Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II)
Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Ecuaciones del movimiento | |||||||
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Se suele proponer el siguiente problema a los estudiantes como ejemplo ilustrativo de fuerzas conservativas y no conservativas que actúan sobre un cuerpo.
Un bloque de masa m desliza a lo largo de un plano inclinado de ángulo θ. Parte del reposo a una distancia d del muelle elástico sin deformar de constante k. Calcular la máxima deformación del muelle. Se supone que el plano no es liso, sino que ejerce una fuerza de rozamiento de coeficiente μk sobre el bloque que desliza a lo largo del mismo. Comparamos la situación inicial y la situación final
Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen O. El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía inicial y la energía final
Por ejemplo, si d=1.0 m, θ=30º, μ=0.3, k=50 N/m, m=1.0 kg Resolvemos la ecuación de segundo grado en xm y tomamos la raíz positiva xm=0.357 m=35.7 cm El problema, como vamos a ver a lo largo de esta página, es susceptible de un estudio más detallado
Ecuaciones del movimientoPara analizar el movimiento, situamos el eje X a lo largo del plano inclinado, con el origen en la posición del extremos libre del muelle sin deformar, la parte positiva apuntando hacia abajo. Las etapas del movimiento son las siguientes:
1.-El bloque baja deslizando por el plano inclinadoEl bloque parte de la posición x0<0 y desliza hacia abajo si la componente del peso mg·senθ es mayor que la fuerza de rozamiento máxima, μs·mg·cosθ, en caso contrario, permanecerá en reposo en la posición inicial. mgsenθ≥μs·mg·cosθ El ángulo θ del plano inclinado para que el bloque deslice tiene valer tanθ≥μs Supongamos que se cumple esta condición y el bloque desliza hacia abajo. Las fueras sobre el bloque son:
La aceleración constante es a+=g(senθ-μcosθ) La posición x y velocidad v en función del tiempo es
Llega al origen en el instante t con velocidad v0.
2.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo
Cuando el bloque se mueve hacia abajo (v>0), la ecuación del movimiento es ma=-kx+mgsenθ-μkmgcosθ Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
con ω2=k/m Esta ecuación del movimiento nos recuerda la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional a+ La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C) en la ecuación diferencial ω2C= a+ C=a+ /ω2 La solución completa de la ecuación diferencial es
La velocidad del bloque es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales Ponemos el contador de tiempo parcial a cero t=0, el bloque llega al origen x=0, con velocidad v0. 0=B+a+/ω2 La posición x y la velocidad v del bloque en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, es
El máximo desplazamiento xm se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante t tal que
Teniendo en cuanta las relaciones
y que en el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo. Llegamos después de algunas operaciones a la expresión para el máximo desplazamiento xm
3.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia arriba
Supongamos que se cumple la primera condición.
Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
La solución completa de la ecuación diferencial es
Ponemos el contador de tiempo parcial t a cero, el bloque parte de la posición xm con velocidad nula, las constantes A y B de la ecuación de la posición valen xm=B+a-/ω2 La posición x y la velocidad v de dicho cuerpo en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia arriba, son
Cuando el móvil pasa por el origen x=0,
4.-El bloque desliza hacia arriba, x<0
La aceleración constante es a-=g(senθ+μcosθ) El movimiento es rectilíneo, uniformemente acelerado. De nuevo ponemos el contador de tiempo parcial a cero. v=vf+a-t Como vf<0, y a->0 el bloque se para cuando v=0, en la posición
se completa un ciclo, se vuelve a repetir el movimiento tomando esta posición inicial de partida. 4.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajoVolverá a deslizar a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, si mgsenθ-kx1≥μk·mgcosθ,
La solución de la ecuación del movimiento para v>0 es
Ponemos el contador de tiempo parcial a cero. Las condiciones iniciales son t=0, x=x1y v=0, x1 =B+a+ /ω2
La máxima deformación del muelle, se alcanzará cuando v=0, es decir, en el instante t tal que sen(ωt)=0, ωt=π. El móvil se detiene en la posición
El móvil parte de x2 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kx2-mgsenθ ≥
μsmgcosθ, en caso contrario la posición x2 será la posición final del bloque en reposo. Supongamos que se cumple la primera condición. Ponemos el contador de tiempo parcial a cero. Las condiciones iniciales son t=0, x=x2, v=0, Tomamos las ecuaciones del movimiento del bloque en contacto con el muelle, hacia arriba. Después de un tiempo t tal que ωt=π. El móvil se para en la posición
y así, sucesivamente, hasta que se detiene en una posición xi>0
Estudio energético del sistemaEl bloque desliza por el plano inclinado hacia abajo Se sitúa el bloque parte de la posición x0 con velocidad inicial nula. Supondremos que el bloque desliza a lo largo del plano inclinado desde la posición x0<0 hasta el origen
La fuerza de rozamiento vale, fr=μk·N=μk mg·cosθ y se opone al movimiento El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final e inicial. Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen. La velocidad v0 con la que el cuerpo llega al origen x=0, es
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo.
El balance energético cuando el cuerpo se mueve desde el origen a la posición x>0 se escribe
El bloque se detiene en la posición xm en el instante en el que la velocidad v=0. Calculamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia arriba El bloque parte de xm con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kxm-mgsenθ ≥ μsmgcosθ,
en caso contrario la posición xm será la posición final del bloque en reposo. Supongamos que se cumple la primera condición. El balance energético cuando el cuerpo se mueve desde la posición xm hacia el origen se escribe
El bloque desliza hacia arriba
Si el bloque no está sujeto al muelle, el bloque continuará moviéndose hacia arriba hasta que su velocidad sea cero
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo Volverá a deslizar a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, si mgsenθ-kx1≥μk·mgcosθ,
Si se cumple esta condición el máximo desplazamiento de móvil x2>x1 se calcula aplicando el balance energético
y así, sucesivamente.
Ejemplo
El bloque desliza por el plano inclinado, hacia abajo Como tanθ≥μ, tan30≥0.3, el bloque desliza hacia abajo La aclaración del bloque es a+=g(senθ-μcosθ)=9.8·(sen30º-0.3·cos30º)=2.35 m/s El tiempo t que tarda en llegar al origen x=0 0=-1.0+a+t2/2, t=0.92 s La velocidad v del bloque v=a+t, v0=2.17 m/s Balance energético La fuerza de rozamiento vale fr= μmgcosθ=0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 N
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo La frecuencia angular ω2=k/m=50 El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento, v=0, es
El máximo desplazamiento xm es
Balance energético
Se resuelve la ecuación de segundo grado para calcular xm=0.357 m El bloque, en contacto con el muelle, desliza hacia arriba La aceleración a-=g(senθ+μcosθ)=9.8·(sen30º+0.3·cos30º)=7.45 m/s El bloque vuelve a pasar por el origen y tarda un tiempo
La velocidad vf del bloque cuando pasa por el origen es
Balance energético
El bloque desliza hacia arriba v=-1.03 +7.45 t La velocidad v se hace cero, en el instante t=0.14 s, x0=-0.072 m El bloque completa un ciclo, y retorna hacia el origen, deslizando por el plano inclinado x=-0.072+a+t2/2,
cuando pasa por el origen x=0, t=0.24 s, v0=0.58 m/s El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento es
El máximo desplazamiento xm es
En esta posición kxm-mgsenθ ≤ μsmgcosθ, 1.19<2.55 El bloque permanece definitivamente en reposo en esta posición
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento del bloque. En la parte inferior del applet, se proporciona los datos relativos, al tiempo total, tt, el tiempo parcial t en segundos, la posición x en cm y la velocidad v de la bala en m/s, y la energía del sistema formado el bloque y el muelle, en cada instante. Se dibujan mediante fechas las fuerzas sobre el bloque:
En la parte superior derecha, muestra en un diagrama de barras la energía del sistema en cada instante.
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El muelle elástico (III)
