Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III)
Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Fuerza que ejerce una goma elástica | |||||||||||
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En otras páginas, se ha estudiado la dinámica de una partícula unida a un muelle elástico. En esta página, vamos a estudiar el movimiento de una partícula unida a una goma elástica, una situación física semejante pero que tiene una mayor riqueza de comportamientos.
Fuerza que ejerce una goma elásticaSupongamos una goma de longitud d sujeta por su extremo superior, del extremo inferior se puede colgar un cuerpo de masa m. El comportamiento de la goma es distinto al de un muelle elástico tal como podemos observar en la figura.
Si sujetamos el cuerpo con la mano y hacemos que descienda muy despacio. Llega un momento en el que la fuerza que ejerce la goma equilibra el peso del cuerpo y la acción de la mano ya no es necesaria. En esta situación de equilibrio, el cuerpo se ha desplazado xe mg=kxe
La máxima deformación xm de la goma se alcanza cuando v=0
A continuación, describiremos las distintas etapas del movimiento de un cuerpo unido a una goma elástica inicialmente estirada, y que presenta una mayor riqueza de comportamientos que la equivalente de un cuerpo unido a un muelle elástico.
OscilacionesUn cuerpo de masa m unido a un muelle elástico de constante k describe un Movimiento Armónico Simple, cuya amplitud es independiente del periodo y cuya frecuencia angular es ω2=k/m. Supongamos que el cuerpo de masa m se desplaza hacia abajo una longitud z0 desde la posición de equilibrio y luego se suelta (v=0), tal como se indica en la figura.
El cuerpo ascenderá impulsado por la fuerza -kx+mg. La ecuación del movimiento se escribirá
La solución de esta ecuación diferencial como puede comprobarse por simple sustitución es x=xe +Asen(ωt)+Bcos(ωt) con ω2=k/m Donde xe=mg/k es la posición de equilibrio, y las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, x=z0, v=dx/dt=0 La posición x del cuerpo en función del tiempo t será x=xe+z0·cos(ωt) Pueden ocurrir dos casos:
Ejemplo: Para k=400 N/m y m=350 kg. La posición de equilibrio xe es
Sea la posición de partida z0 =12.65 m (segundo caso) en el instante t=0 por debajo de la posición de equilibrio. Empleando el principio de conservación de la emergía calculamos z1=7.21 m la altura que se eleva el cuerpo en la región x<0. Calculamos la frecuencia angular ω=1.15 rad/s, y el periodo de la oscilación 6.22 s que como vemos es distinto de 2π/ω, debido a que el cuerpo se mueve en la región x<0 donde la fuerza que ejerce la goma es F=0.
El problema generalConsideremos una goma elástica de longitud d sin deformar y de constante elástica k (a la izquierda en la figura). Uno de los extremos se sujeta a un poste de altura h. Del extremo libre cuelga un cuerpo de masa m inicialmente anclado a la base del poste tal como podemos apreciar en la figura (en el centro). Para describir el movimiento unidimensional establecemos el origen en la base del poste y el eje X tal como se indica en la figura Una vez que se suelta el cuerpo, estudiaremos las distintas etapas de su movimiento hasta que regresa a la base del poste. Supondremos que la goma es perfectamente elástica y que el rozamiento del cuerpo con el aire es despreciable.
Tenemos la ecuación diferencial de un M.A.S.
de frecuencia angular ω2=k/m. La solución de la ecuación diferencial tiene la forma x=x0+Asen(ωt)+Bcos(ωt) con x0=h-d-g/ω2. Las condiciones iniciales t=0, x=0, v=dx/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B. El resultado final es x=x0(1-cos(ωt)) El cuerpo llega a la posición x=h-d, en el instante t1 tal que -g/ω2=x0·cos(ωt1) con una velocidad v1 v1=x0ω·sen(ωt1) Esta velocidad se puede obtener aplicando el principio de conservación de la energía
La velocidad v2 del móvil será v2=v1-g(t2-t1) Aplicando el principio de conservación de la energía obtenemos v2 a partir de v1
Dicha velocidad se alcanza en el instante
Las condiciones iniciales t=t2, x=h+d, v=dx/dt=v2 determinan los valores de las constantes A y B.
v=v2cos(ω(t-t2))-(g/ω)sen(ω(t-t2)) La altura máxima se alcanza en el instante tm tal que v=0
Aplicamos el principio de conservación de la energía para obtener la altura máxima xm.
A partir de este instante, se inicia el viaje de vuelta hasta que regresa al punto de partida x=0 con velocidad nula v=0 empleando un tiempo 2tm. La posición x=h+d se alcanza en el instante t3=tm+tm-t2=2tm-t2 con una velocidad –v2
La goma no influye en el movimiento del cuerpo, de modo que las ecuaciones del movimiento son similares a las de la segunda etapa. La posición y la velocidad del cuerpo en el instante t>t3 se obtienen a partir de las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado v=-v2-g(t-t3) Alcanzando la posición x=h-d en el instante t4=t3+(t2-t1)=2tm-t1 con velocidad –v1
La ecuación del movimiento es la misma que en la primera etapa. La solución de la ecuación diferencial tiene la forma x=x0+Asen(ωt)+Bcos(ωt) con x0=h-d-g/ω2. Las condiciones iniciales t=t4, x=h-d, v=dx/dt=-v1 determinan los valores de las constantes A y B. El resultado final es
v=-v1cos(ω(t-t4))-(g/ω)sen(ω(t-t4)) Alcanzándose la posición x=0 en el instante 2tm con velocidad v=0. Con lo que se completa un ciclo del movimiento.
Casos particulares1.- El cuerpo pasa por la posición x=h-d, pero no alcanza la posición x=h+d Si la energía del cuerpo
El cuerpo pasa por la posición x=h-d con una velocidad v1 empleando un tiempo t1, calculado en la primera etapa. El cuerpo alcanza después una altura máxima xm<h+d
en el instante tm=t1+v1/g El cuerpo después de pasar la posición x=h-d en el camino de vuelta regresa al origen x=0 en el instante 2tm 2.- No se alcanza la posición x=h-d Si la energía del cuerpo
El cuerpo alcanza una altura máxima xm<h-d que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía o poniendo v=0 en la ecuación del movimiento de la partícula en la primera etapa
Describiendo un MAS alrededor de la posición de equilibrio x0=xm/2. La posición de equilibrio se calcula poniendo a=0, en la primera etapa del movimiento, o bien, k(h-d-x0)=mg, resultando x0=h-d-g/ω2. El periodo de la oscilación es 2π/ω, o tiempo que tarda en salir de x=0, y regresar a la misma posición.
EjemplosEjemplo1 Sea k=960.0 N/m y m=300 kg. El cuadrado de la frecuencia angular es ω2=960/300=3.2 rad2/s2
3.-La máxima altura
Ejemplo 2 Sea k=360.0 N/m y m=300 kg. El cuadrado de la frecuencia angular es ω2=360/300=1.2 rad2/s2 Estamos en el caso particular 1
1.- x=h-d=20 m
2.-La altura máxima se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
Ejemplo 3 Sea k=360.0 N/m y m=500 kg. El cuadrado de la frecuencia angular es ω2=360/500=0.72 rad2/s2 Estamos en el caso particular 2
Aplicando el principio de conservación de la energía determinamos la altura máxima xm
xm=12.78 m El tiempo que tarda en regresar al origen x=0 es el periodo de la oscilación 2π/ω=7.40 s La oscilación se realiza alrededor de la posición de equilibrio x0=xm/2=6.39 m.
ActividadesSe introduce
En el programa se han fijado los datos de
Se pulsa el botón titulado Empieza En el caso que se introduzca datos de m y k tales que k(h-d)≤mg, el cuerpo no puede ascender, el programa no prosigue invitando a disminuir la masa o aumentar la constante elástica para poder continuar. Utilizando los botones Pausa y Paso, podemos conocer
Al lado del cuerpo, se dibujan las fuerzas que actúan sobre el mismo. En la parte derecha, se dibuja un diagrama en forma de tarta que nos muestra como se van transformando las energías, cinética, potencial gravitatoria, y potencial elástica a medida que se mueve la partícula. |
Theron W F D. The dynamics of a bungee rocket. Eur. J. Phys. 23 (2002), pp. 643-650
Partícula unida a
una goma
