La carrera de dos esquiadores

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Dinámica

Trabajo y energía
Trabajo y energía
El péndulo simple
El muelle elástico (I)
El muelle elástico (II)
El muelle elástico (III)
Partícula unida a 
una goma
Trabajo y energía
(el bucle)
El péndulo cónico
Equilibrio y 
estabilidad (I)
Equilibrio y 
estabilidad (II)
Equilibrio y 
estabilidad (III)
Movimiento sobre
una cicloide (I)
Movimiento sobre
cúpula semiesférica
Movimiento sobre
sup. semicircular
marca.gif (847 bytes)Carrera de dos
   esquiadores
Movimiento sobre
una cicloide (II)
Movimiento sobre
una parábola
Movimiento a lo largo del puente

Movimiento a lo largo del valle

Actividades

Referencias

 

En esta página, se compara el movimiento de un esquiador que cruza un puente, con otro esquiador que cruza un valle, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál de los dos llegará antes al otro extremo del puente?

Este ejercicio complementa el estudio del movimiento sobre una cúpula, y el movimiento sobre una superficie semicircular cóncava.

 

Movimiento a lo largo del puente

Las fuerzas sobre el esquiador son:

  • El peso, mg

  • La reacción de la superficie horizontal sobre la que desliza, N

  • La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento, Fr=μN

Hay equilibrio en el sentido vertical N=mg

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento horizontal

ma=-Fr

Como la aceleración es constante a=-μg, si v0 es la velocidad inicial del esquiador al principio del puente, al cabo de un cierto tiempo t la velocidad del esquiador ha disminuido

v=v0-μgt

El esquiador se habrá desplazado a lo largo del puente, en el instante t su posición es

x=v0·tgt2

Si el punte tiene una longitud d, pueden ocurrir dos casos:

  • Que el esquiador se pare antes de llegar al final del puente, cuando v=0,

  • Que el esquiador atraviese el puente, y llegue al final con velocidad v.

El trabajo de la fuerza de rozamiento se invierte en modificar la energía cinética de la partícula

 

Movimiento a lo largo del valle

La forma del valle puede ser descrita por una función continua que esté por debajo del segmento de la recta que conecta el punto inicial y el punto final. En este caso, el valle lo construiremos conectando cuatro arcos de circunferencia, del mismo ángulo α y radio R, tal como se muestra en la línea de color rojo, en la figura.

La distancia horizontal entre el punto de partida y el de llegada del esquiador es

d=4·R·senα.

Primer arco de circunferencia

En la figura, se muestra las fuerzas sobre la partícula

  • El peso, mg

  • La reacción de la superficie horizontal sobre la que desliza, N

  • La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento, Fr=μN

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es

mat=mg·senθ-Fr  con Fr=μN, y at=dv/dt

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

Llamando x=v2/(Rg), nos queda la ecuación diferencial

La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular x1=Asenθ+Bcosθ

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=2μθ+cte, o bien,  x2=C·exp(2μθ)

La solución completa es x=x1+x2

    (1)

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=0, v=v0

Si hay rozamiento μ≠0, pueden ocurrir tres casos:

  • Que la partícula deje de estar en contacto con la cúpula, es decir, la reacción N se haga cero, para θ= θc

  • Que la partícula se detenga v=0, con N>0

  • Que la partícula continúe su movimiento en el segundo tramo

 En el primer caso y una vez alcanzada la posición θc, la partícula describe un movimiento parabólico.

Ecuación diferencial del movimiento:

Poniendo v=R·dθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=v0/R.

Cuando θ=α, el esquiador abandona el primer arco de circunferencia y entra en el segundo.

Segundo y tercer arco de circunferencia

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es

mat=-mg·senθ-Fr

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

Llamando x=v2/(Rg), nos queda la ecuación diferencial

La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular x1=Asenθ+Bcosθ

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+cte, o bien,  x2=C·exp(-2μθ)

La solución completa es x=x1+x2

 (2)

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=-α, v=v1, donde v1 es la velocidad del esquiador al finalizar el primer tramo.

Si hay rozamiento μ≠0, pueden ocurrir dos casos:

  • Que la partícula se detenga v=0

  • Que continúe su movimiento en el cuarto tramo.

Ecuación diferencial del movimiento:

Poniendo v=R·dθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=t1, θ=-α, dθ/dt=v1/R.

Cuando θ=α, el esquiador abandona el tercer tramo y entra en el cuarto.

Cuarto arco de circunferencia

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es

mat=mg·senθ-Fr  ya que θ es un ángulo negativo

Combinado ambas ecuaciones obtenemos las misma ecuación que en el primer arco. La velocidad se calcula mediante

  (1)

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=-α, v=v2, donde v2 es la velocidad del esquiador al finalizar el tercer tramo.

Ecuación diferencial del movimiento:

Poniendo v=R·dθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento, la misma que para el primer arco

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=t2, θ=-α, dθ/dt=v2/R.

Cuando θ=0, el esquiador abandona el valle y llega al final del puente.

Ejemplo

  • Coeficiente de rozamiento μ=0.1

  • Ángulo de cada uno de los cuatro arcos que forman el valle α=30º

  • Velocidad inicial de los esquiadores al comienzo de la carrera v0=5 m/s

  • Longitud del puente d=10 m

Calculamos el radio R de los arcos

d=4·RsenαR=5 m

Primer arco

Las condiciones iniciales son θ=0, v0=5 m/s, calculamos la constante de integración C en la expresión (1).

Conocida la constante C, calculamos la velocidad del móvil al finalizar el primer arco θ=30º=π/6 rad

Esta es la velocidad inicial cuando el móvil entra en el segundo arco y tercer arco.

Segundo y tercer arco

Las condiciones iniciales son θ=-π/6, v1=6.02 m/s, calculamos la constante de integración C en la expresión (2).

Conocida la constante C, calculamos la velocidad del móvil al finalizar el tercer arco θ=π/6 rad

Esta es la velocidad inicial cuando el móvil entra en el cuarto arco.

Cuarto arco 

Las condiciones iniciales son θ=-π/6, v1=4.34 m/s, calculamos la constante de integración C de la expresión (1).

Conocida la constante C, calculamos la velocidad del móvil al finalizar el cuarto arco θ=0 rad

Esta es la velocidad final del esquiador que atraviesa el valle. El programa interactivo, calcula numéricamente el tiempo que tarda el esquiador en atravesar el valle, 2.45 s.

Movimiento a lo largo del puente

La velocidad final del esquiador que cruza el puente es

v2=52-2·0.1·9.8·10,  v=2.32 m/s

El tiempo que tarda en cruzar el puente es

v=5-0.1·9.8·tt=2.73 s

 

Actividades

Se introduce

  • El coeficiente de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento, o introduciendo un número en el control de edición correspondiente.

  • El ángulo α, de cada uno de los cuarto arcos que componen el valle, actuando el la barra de desplazamiento titulada Ángulo del arco.

  • La velocidad inicial v0, que llevan los dos esquiadores al comenzar su carrera, en el control de edición titulado V. inicial.

  • La longitud d del puente se ha fijado en 10 m.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el puente en color azul, y el perfil del valle en color rojo formado por la unión de cuatro arcos.

Se dibuja las fuerzas sobre la partícula roja que cruza el valle

  • El peso, mg

  • La fuerza de rozamiento, Fr, cuya dirección es tangente a la trayectoria circular, y cuyo sentido es opuesto a la velocidad

  • La reacción N de la superficie curva, que tiene dirección radial.

En la parte izquierda del applet se realiza el balance energético de las dos partículas:

A la izquierda, la energía de la partícula de color rojo que atraviesa el valle

  • La energía potencial en color azul, que es negativa

  • La energía cinética en color rojo

  • La energía total se señala mediante un rectángulo de color negro

A la derecha, la energía de la partícula de color azul que atraviesa el puente

  • Su energía potencial no cambia, se toma como cero

  • La energía cinética en color rojo, que es a su vez la energía total

Una línea horizontal de color negro señala la energía inicial de ambas partículas, observamos como la energía va disminuyendo a causa del trabajo de la fuerza de rozamiento.

En la parte inferior derecha del applet, se proporcionan los datos del tiempo, posición horizontal de cada uno de los esquiadores en relación al principio del puente y de su velocidad.

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Hite G. E. The sled race. Am. J. Phys. 72 (8) August 2004, pp. 1055-1058