Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Movimiento sobre una cicloide
Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
 Movimiento
sobre un cúpula semiesférica sin rozamiento |
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| En este ejemplo, vamos a comprobar que si una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas la energía total de la partícula se conserva en todos los puntos de la trayectoria. Una partícula de masa m desliza sin rozamiento por una cúpula de radio R. Determinar el ángulo para el cual la partícula deja de tener contacto con la cúpula. Como problema más avanzado, estudiaremos el movimiento de la partícula cuando la cúpula presenta un rozamiento al deslizamiento.
Movimiento sobre la cúpula semiesférica sin rozamientoLa partícula se encuentra inicialmente en reposo sobre el vértice de la cúpula, en una posición de equilibrio inestable. Cuando se desvía ligeramente de esta posición, la partícula desliza sin rozamiento, incrementando su velocidad hasta que llega un momento en el que deja de tener contacto con la cúpula. En este apartado, calcularemos la posición θc para la cual la reacción N de superficie semiesférica es nula.
Aplicando el principio de conservación de la energía Ei=Ef, podemos calcular la velocidad del móvil v en la posición θ v2=2gR(1-cosθ)
La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial at y aceleración normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton a un movimiento circular de radio R · Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
· Ecuación del movimiento en la dirección normal
La primera ecuación nos permite calcular la posición angular θ en función del tiempo t.
La segunda ecuación, junto al principio de conservación de la energía, nos permite calcular la reacción del plano N, en la posición θ
La partícula deja de tener contacto con la cúpula cuando la reacción N se anule. Para el ángulo θc tal que
Aproximadamente, 48º medidos desde la vertical. Como vemos el ángulo límite es independiente del radio de la cúpula y de la masa de la partícula. La velocidad de la partícula cuando alcanza en esta posición es
Nota: Si resolvemos la ecuación diferencial del movimiento, con las condiciones iniciales son θ0=0, dθ/dt=0, la partícula permanece en dicha posición indefinidamente, ya que está es una situación de equilibrio inestable. Para que se mueva, desviamos la partícula ligeramente de la posición de equilibrio: las condiciones iniciales que hemos tomado son θ0=0.02 rad, y aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad angular inicial dθ/dt de la partícula en la posición de partida.
Con velocidad inicial
Las ecuaciones del movimiento son
El punto de impacto sobre el suelo se calcula poniendo y=0 en la segunda ecuación, despejando el tiempo t, y sustituyéndolo en la primera. Ejemplo: Sea el radio de la cúpula es R=15 m. En el momento en el que la partícula deja de tener contacto con la cúpula N=0, su posición angular es cosθ= 2/3 y su velocidad es,
Cuando llega al suelo y=0 0=15·cosθ-v0·senθ-½ 9.8·t2. Se resuelve la ecuación de segundo grado t=0.86 s Se calcula el alcance medido desde el centro de la cúpula x=15·senθ+ v0·cosθ·t=16.90 m ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón Empieza para observar el movimiento de la partícula. Se puede parar el movimiento de la partícula cuando la reacción del plano N, es cero pulsando el botón titulado Pausa. ¿Qué ángulo se ha desplazado?. Para acercarnos a la posición deseada se pulsa sucesivamente el botón titulado Paso. Para continuar el movimiento se pulsa en el botón Continua. A la izquierda del applet, se muestra el tiempo desde el momento en el que la partícula deja de tener contacto con la cúpula, describiendo un movimiento parabólico. El círculo situado en la parte superior izquierda representa la energía total de la partícula, la porción de color rojo representa la energía cinética, y la porción azul, la energía potencial. Podemos observar que la energía potencial se va transformando en energía cinética, pero la suma de los valores de ambas clases de energía se mantiene constante a lo largo de la trayectoria de la partícula. |
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Movimiento sobre la cúpula semiesférica con rozamientoSupongamos ahora, que la cúpula presenta un rozamiento al deslizamiento de la partícula, cuyo coeficiente cinético es μ. Vamos a determinar la velocidad v de la partícula en función de la posición angular θ, cuando le proporcionamos a la partícula una velocidad inicial v0 en la posición inicial θ=0. Como veremos pueden ocurrir dos casos:
Dinámica del movimiento circular.
La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial at y aceleración normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton · Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
· Ecuación del movimiento en la dirección normal
Las aceleraciones tangencial y normal se expresan en función de la velocidad v del siguiente modo
Despejando la reacción N en la segunda ecuación del movimiento y sustituyéndola en la primera, obtenemos la ecuación diferencial de primer orden
Llamando x=v2/(Rg), nos queda la ecuación diferencial
La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos: La solución particular x1=Asenθ+Bcosθ Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B
Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea
Integrando ambos miembros obtenemos lnx=2μθ+cte, o bien, x2=C·exp(2μθ) La solución completa es x=x1+x2
La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=0, v=v0 Finalmente, la ecuación que nos proporciona la velocidad v en función del ángulo θ, es
El término
Que la partícula deje de estar en contacto con la cúpula, es decir, la reacción N se haga cero, con v>0 Que la partícula se detenga v=0, con N>0
Balance energético La energía de la partícula en la posición inicial es
Cuando la partícula se encuentra en la posición angular θ.
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento Wnc<0 también se puede calcular hallando la diferencia entre la energía final menos la energía inicial.
Podemos comprobar que por ambos procedimientos, el trabajo de la fuerza de rozamiento vale
Ejemplo
Si la velocidad inicial es v0=1.5. La partícula deja de tener contacto con la cúpula semiesférica en la posición θc=42º
Sea μ=0.3 y v0=1.8 Para θ=30º, la velocidad v=1.97 y la reacción N=4.59 Para θ=40º, la velocidad v=2.34 y la reacción N=2.01 La partícula deja de tener contacto con la cúpula para θc=46º, con v=2.61 y N≈0 La tarea del lector será la de investigar para qué valores de la velocidad inicial v0 y del coeficiente de rozamiento μ, hacen que θc sea tan próximo a 90º como sea posible. Compruébese el siguiente ejemplo: μ=1.0 y v0=2.257
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos el movimiento de la partícula deslizando sobre la cúpula. Sobre la partícula se dibujan las fuerzas: peso mg, reacción N, y fuerza de rozamiento Fr. En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los datos de
Cuando la reacción N se hace cero, se muestran los datos de la a velocidad v en la posición θc en la que la partícula deja de tener contacto con la cúpula semiesférica. El círculo situado en la parte superior izquierda representa la energía total de la partícula, la porción de color rojo representa la energía cinética, y la porción azul, la energía potencial. Podemos observar que la energía potencial se va transformando en energía cinética, pero la suma de los valores de ambas clases de energía no se mantiene constante a lo largo de la trayectoria de la partícula si hay rozamiento. El trabajo de la fuerza de rozamiento viene indicado por la porción negra del círculo de mayor radio. |
Referencia:
Mungan C. Sliding on the surface of a rough sphere. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, pp. 326-328
Movimiento sobre
cúpula semiesférica
actúa
de factor de escala, ya que podemos definir una velocidad adimensional
que
sea independiente del radio R de la cúpula semiesférica.
